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量子可積分系入門

量子力学

SGCライブラリ - 28

量子可積分系入門

Lectures on Quantum Integrable Systems

白石潤一　著

2003年11月25日　初版発行

木の実あつめ　古典可積分系

カロジェロ・モーザー系

{\displaystyle H = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^Np_i^2 + g^2\sum_{i \lt j}\frac{1}{(x_i - x_j)^2}}

ポアソン括弧：

  • {\{p_i,p_j\} = 0}
  • {\{q_i,q_j\} = 0}
  • {\{p_i,q_j\} = -\delta_{i,j}}

運動方程式：

  • {\displaystyle \dot{x}_i = \{x_i,H\} = p_i}
  • {\displaystyle \dot{p}_i = \{p_i,H\} = 2g^2\sum_{j (\neq i)}\frac{1}{(x_i - x_j)^3}}

ラックス形式：

{\displaystyle \frac{d}{dt}L = LM - ML}

  • {N} 行 {N} 列のエルミート行列 {L}
    • {\displaystyle L_{ij} = p_i\quad (i = j)}
    • {\displaystyle L_{ij} = \sqrt{-1}g\frac{1}{x_i - x_j}\quad (i \neq j)}
  • {N} 行 {N} 列の反エルミート行列 {M}
    • {\displaystyle M_{ij} = \sqrt{-1}g\sum_{k (\neq i)}\frac{1}{(x_i - x_k)^2}\quad (i = j)}
    • {\displaystyle M_{ij} = -\sqrt{-1}g\frac{1}{(x_i - x_j)^2}\quad (i \neq j)}

行列 {L} のべき乗のトレースは独立な保存量を生成する：

  • {\displaystyle I_k = \mathrm{tr}\,L^k = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \cdots + \lambda_N^k\quad (k = 1,2,\dots,N)}
  • 行列 {L} の固有値 {\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_N}
  • {\displaystyle \frac{d}{dt}I_k = 0}
  • {\{\lambda_k,\lambda_l\} = 0}

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