応用のための関数解析
SGCライブラリ - 30
応用のための関数解析
その考え方と技法
吉田善章 著
2004年1月25日 初版発行
空間と位相
線形空間 に内積 が定義されているとする。
- が をノルムとするノルム空間であるとき、 を pre-Hilbert 空間という。
- が完備な pre-Hilbert空間であるとき、 を Hilbert 空間という。
- Hilbert 空間とは、ノルムが内積によって誘導された Banach 空間である。
は内積 が定義された pre-Hilbert 空間であるとする。
- の2つの元 は、 であるとき直交するという:
- の2つの部分集合 は ()であるとき直交するという:
- の部分集合 に対して、 の全ての元と直交する の全体集合を の直交補空間という:
射影定理
を Hilbert 空間、 をその閉部分空間とする。
任意の は一意的に以下のように分解される:
を の への射影という。
Hilbert 空間 の閉部分空間 による直交分解:
完全正規直交系
Hilbert 空間 の可算部分集合 が正規直交系であるとは、 をみたすことをいう。
正規直交系 によって張られる閉部分空間 :
であるとき、 を完全正規直交系という。
可分な Hilbert 空間 は、たかだか可算個の元からなる完全正規直交系 をもつ:
作用素
Banach 空間 における線形作用素 を考える。
作用素 ()を に対するレゾルベント作用素と呼ぶ:
- が存在して連続、かつその定義域が稠密となるような複素数 の集合を のレゾルベントと呼び、 と表す。
- を のスペクトルと呼ぶ。
固有値問題は作用素 の特異点を探す問題にほかならない。
スペクトル は次の 種に分類される:
- 点スペクトル :
- が存在しないような の集合
- 連続スペクトル :
- が存在し、その定義域が稠密であるが、不連続となるような の集合
- 剰余スペクトル :
- が存在するが、その定義域が稠密でないような の集合
Dunford 積分
を Hilbert 空間 における有界線形作用素とする。
を のある近傍 で正則な関数とし、 を満たす に対して Dunford 積分を定義する:
ただし、 は有限個の向きづけられた Jordan 曲線からなるとする。
このとき は 内の有界線形作用素となる。
の近傍 で正則な関数 に対して次式が成り立つ: