物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

賭けの数理と金融工学

SGCライブラリ - 35

賭けの数理と金融工学

ゲームとしての定式化

竹内啓 著

2004年9月25日 初版発行

ゲームとしての賭け

「賭け」の問題:

  • 不確定な事象  {E} の結果  {e_1,e_2,\dots,e_k}
  • 「賭け口」 {b_1,b_2,\dots,b_l}
  •  {e_i} が起こったときには  {b_j} 1口について  {m_{ij}} の金額が得られる。
  • 最初の資金  {K_0}
  •  {n} 回目の「賭け」で  {b_j} に配分する額  {M_{nj}}
  •  {\sum_jM_{nj} \le K_{n-1}}

 {\displaystyle K_n = K_{n-1} + \sum m_{ij}M_{nj} - \sum M_{nj} = K_{n-1} + \sum(m_{ij} - 1)M_{nj}}

「結果当てゲーム」:

  •  {m_{ii} = r_i}
  •  {m_{ij} = 0,\quad i \neq j}
  •  {E_1,E_2,\dots,E_n} の中で結果  {e_i} が起こった回数  {m_{ni}}

 {\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{m_{ni}}{n} = \frac{1}{r_i}}

とならなければ、必ず  {K_n \to \infty} となるような賭けの戦略が存在する。

事象  {E_1,E_2,\dots,E_n} の結果  {(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n)} を径路といい、 {\xi^n} と表す。

2つの径路  {\xi^n = (\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n),\,\eta^m = (\varepsilon_1^{\prime},\varepsilon_2^{\prime},\dots,\varepsilon_n^{\prime})} {m \ge n})について、 {\varepsilon_1 = \varepsilon_1^{\prime},\,\varepsilon_2 = \varepsilon_2^{\prime},\dots,\varepsilon_n = \varepsilon_n^{\prime}} であるとき、 {\xi^n \subseteq \eta^m} と表す。

  •  {i} 番目の賭け口に配分する額  {\mathcal{P}_i(\xi^{n-1})}
  •  {\varepsilon_n = e_i} のとき  {x_{ni} = r_i - 1}
  •  {\varepsilon_n \neq e_i} のとき  {x_{ni} = -1}
  •  {n} 回目の賭けの結果の資金額  {K_n^{\mathcal{P}}(\xi^n)}

 {\displaystyle K_n^{\mathcal{P}}(\xi^n) = K_{n-1}^{\mathcal{P}}(\xi^{n-1}) + \sum_ix_{ni}\mathcal{P}_i(\xi^{n-1})}

すべての  {i} について

 {\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^kx_{ni} = 0}

とならないならば、必ず

 {\lim_{n \to \infty}K_n^{\mathcal{P}}(\xi^n) = \infty}

となるような戦略  {\mathcal{P}} が存在する。

「自然」は、賭ける人の資金が無限に増大しないようにするためには、事象の結果をランダムに選ばなければならない。

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