物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

マクスウェル方程式

SGCライブラリ - 39

マクスウェル方程式

電磁気学のよりよい理解のために

北野正雄 著

2005年5月25日 初版発行

ベクトル再入門

線形空間  {V} から  {\mathbb{R}} への線形関数  {\phi(\cdot)} を考える。

  •  {\phi(\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2) = \phi(\mathbf{x}_1) + \phi(\mathbf{x}_2)}
  •  {\phi(c\mathbf{x}) = c\phi(\mathbf{x})}

 {V} 上の線形関数全体はベクトル空間をつくる:双対空間  {V^{\ast}}

  •  {(\phi_1 + \phi_2)(\cdot) = \phi_1(\cdot) + \phi_2(\cdot)}
  •  {(c\phi)(\cdot) = c\phi(\cdot)}

座標系の変換:

  •  {x_j^{\prime} = R_{ji}x_i}
  •  {x_k = S_{kj}x_j^{\prime}}
  •  {S_{kj}R_{ji} = R_{kj}S_{ji} = \delta_{ki}}

空間ベクトルと双対ベクトルの基底と成分の変換則:

空間ベクトル 双対ベクトル 不変性
基底  {\mathbf{t}_i = \mathbf{t}_j^{\prime}R_{ji}}  {\mathbf{n}_i = S_{ik}\mathbf{n}_k^{\prime}}  {\mathbf{t}_i\cdot\mathbf{n}_j = \mathbf{t}_i^{\prime}\cdot\mathbf{n}_j^{\prime} = \delta_{ij}}
成分  {u_i = S_{ik}u_k^{\prime}}  {w_i = w_j^{\prime}R_{ji}}  {W = w_iu_i = w_i^{\prime}u_i^{\prime}}
不変性  {\mathbf{x} = \mathbf{t}_iu_i = \mathbf{t}_i^{\prime}u_i^{\prime}}  {\mathbf{F} = w_i\mathbf{n}_i = w_i^{\prime}\mathbf{n}_i^{\prime}}

テンソル

 {2} 階のテンソル  {\mathsf{T}}

  •  {\mathsf{T}: (\mathbf{x_1} + \mathbf{x}_2)\mathbf{y} = \mathsf{T}:\mathbf{x}_1\mathbf{y} + \mathsf{T}:\mathbf{x}_2\mathbf{y}}
  •  {\mathsf{T}: \mathbf{x}(\mathbf{y}_1 + \mathbf{y}_2) = \mathsf{T}:\mathbf{x}\mathbf{y}_1 + \mathsf{T}:\mathbf{x}\mathbf{y}_2}
  •  {\mathsf{T}:(\alpha\mathbf{x})\mathbf{y} = \mathsf{T}:\mathbf{x}(\alpha\mathbf{y}) = \alpha\mathsf{T}:\mathbf{x}\mathbf{y}}

場とブラックボックス

ベクトル解析と微分形式

電場・磁場の幾何学的イメージ

デルタ関数と超関数

クーロンの法則とビオ・サバールの法則

電気双極子と微小環状電流

巨視的マクスウェル方程式

電磁場のエネルギーと運動量

媒質と電磁場

相対論と量子論

空間反転と擬テンソル