物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

現代物理数学への招待

物理数学

SGCライブラリ - 47

現代物理数学への招待

ランダムウォークからひろがる多彩な物理と数学

鈴木淳史　著

2006年5月25日　初版発行

確率論の復習

確率変数 ${x}$ が連続的に ${[A,B]}$ に値を持つとする。

平均値： ${m \in [A,B]}$
偏差： ${\sigma_X}$
観測値が ${m}$ から ${\delta}$ 以上離れている確率： ${P(|X - m| \ge \delta)}$

チェビシェフの不等式

$P(|X - m| \ge \delta) \le \frac{\sigma_X^2}{\delta^2}$

同一の確率分布に従う独立な ${N}$ 個の確率変数 ${X_1,X_2,\dots,X_N}$ の平均：

$Y = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_N}{N}$

大数の法則

${N \to \infty}$ の極限で ${Y}$ は確率 ${1}$ で ${X_i}$ の平均値 ${m}$ に収束する。

$P(|Y - m| \ge \delta) \le \frac{\sigma_Y^2}{\delta^2} = \frac{\sigma_X^2}{N\delta^2} \stackrel{N \to \infty}{\to} 0$

特性関数 ${\phi(k)}$ を分布関数のフーリエ変換で定義する。

$\phi(k) := \int_{-\infty}^{\infty}P(x)e^{ikx}dx$

キュミュラント母関数 ${\theta(\lambda)}$ ：

$\theta(\lambda) := \log\int_{-\infty}^{\infty}P(x)e^{\lambda x}dx$

${Y}$ の分布関数 ${P_Y(y)}$ を ${X}$ の特性関数を用いて書く。

$P_Y(y) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iky}\phi^N\left(\frac{k}{N}\right)dk$

${y}$ のゆらぎは小さいとすれば、積分にもっとも寄与するのは ${\phi^N}$ を極大にする ${k = 0}$ のまわりである。

中心極限定理

${y}$ のゆらぎが小さいとき、 ${Y}$ は平均値 ${m}$ の周りに分散 ${\sim O(1/\sqrt{X})}$ のガウス分布をする。

$P_Y(y) \sim \sqrt{\frac{N}{2\pi\sigma_x^2}}\exp\left(-\frac{N(y - m)}{2\sigma_x^2}\right)$

ランダムウォークの数理

${1}$ 次元格子上を、単位時間に右または左に進むランダムウォークを考える。

${a}$ から出発して ${N}$ 歩進んだ後、 ${b}$ にいるようなランダムウォークの軌跡の総数（配位数）

$C^{(N)}(b|a) = {}_NC_{\frac{N + \triangle}{2}} = \binom{N}{\frac{N + \triangle}{2}}$

${\triangle = a - b}$
${2}$ 項係数の添字が整数にならなければゼロとする。

左側（ ${m = 1}$ ）に壁のあるランダムウォーク：

${C_{\mathrm{left}}^{(N)}(b|a) = C^{(N)}(b|a) - C^{(N)}(b|-a)}$

左側（ ${m = 1}$ ）および右側（ ${m = L}$ ）に壁のあるランダムウォーク：

$C_{\mathrm{restricted}}^{(N)}(b|a) = \sum_{j = -\infty}^{\infty}\left(C^{(N)}(b|a + 2Lj) - C^{(N)}(b|- a + 2Lj)\right)$

格子フェルミオン法

ランダムウォーカーが ${x}$ にいる一粒子状態 ${|x\rangle}$
${\langle y|x\rangle = \delta_{x,y}}$
１ステップの生成演算子 ${T^{(1)}}$

$T^{(1)} = \sum_{x=1}^L(|x + 1\rangle\langle x| + |x - 1\rangle\langle x|)$

周期的境界条件：

${|L + 1\rangle = |1\rangle}$
${|0\rangle = |L - 1\rangle}$

${(T^{(1)})^N|x\rangle}$ は ${N}$ ステップの後のすべての可能な一粒子状態 ${|y\rangle}$ の重ね合わせ：

$(T^{(1)})^N|x\rangle = \sum_{y = 1}^LC_{\mathrm{pbc}}^{(N)}(y|x)|y\rangle$

$C_{\mathrm{pbc}}^{(N)}(y|x) = \sum_k\langle y|k\rangle\langle k|(T^{(1)})^N|k\rangle\langle k|x\rangle = \frac{1}{L}\sum_ke^{ik(x - y)}(2\cos k)^N$

$\psi_k(x) = \langle k|x\rangle = \frac{1}{\sqrt{L}}e^{ikx}$
${k = 2\pi n/L}$ （ ${n = 1,\dots,L}$ ）
${\langle k|T^{(1)}|k^{\prime}\rangle = 2\delta_{k,k^{\prime}}\cos(k)}$

${n}$ 粒子からなる系の配位数は ${n \times n}$ 行列の行列式で与えられる：

${\det_{1 \le i,j \le n}C_{\mathrm{pbc}}^{(N)}(y_i|x_j)}$

対称多項式と組み合わせ論

ボソン・フェルミオンと対称関数

ビラソロ代数とその表現

結晶面と組み合わせ論

${q}$ 類似の解析

${q}$ -直交多項式系とその応用