超対称性

コールマン–マンドゥーラ（Coleman–Mandula）の定理

確率の保存

相対論的不変性

相互作用があること

などを仮定したとき、 ${S}$ 行列の持ちうる対称性 ${G}$ は、ポアンカレ群と内部対称性の群の直積に限る。

ただし、対称性としては、交換関係で表現される対称性だけを考えるとする。

半交換関係で表現される対称性の生成子も許すことにすれば、時空の対称性と直積でない対称性が得られる。

ハーク–ロプスザンスキ–ソーニウス（Haag–Lopszánski–Sohnius）の定理

${P^{\mu}}$ ：並進変換生成子

${J^{\mu\nu}}$ ：ローレンツ変換生成子

${T_l}$ ：内部対称性生成子

${Q_{\alpha}^i}$ ：超対称性生成子（ ${i=1,2,\dots,\mathcal{N}}$ のマヨラナスピノール）

とすれば、これらの満たす代数は以下のようになる。

${[P^{\mu},P^{\nu}] = 0}$

${[P^{\mu},J^{\nu\lambda}] = i(\eta^{\mu\nu}P^{\lambda} - \eta^{\mu\lambda}P^{\nu})}$

${[J^{\mu\rho},J^{\nu\lambda}] = -i(\eta^{\mu\nu}J^{\rho\lambda} - \eta^{\mu\lambda}J^{\rho\nu} - \eta^{\rho\nu}J^{\mu\lambda} + \eta^{\rho\lambda}J^{\mu\nu})}$

${\displaystyle[Q_{\alpha}^i,J^{\mu\nu}] = \frac{1}{2}(\sigma^{\mu\nu})_{\alpha\beta}Q_{\beta}^i}$

${[Q_{\alpha}^i,P^{\mu}] = 0}$

${[Q^i,T_l] = (T_l)^{ij}Q^j}$

${[T_l,T_m] = if^n{}_{lm}T_n}$

${\{Q^i,\bar{Q}^j\} = \delta^{ij}\gamma^{\mu}P_{\mu} + \mathbf{1}S^{ij} + i\gamma_5V^{ij}}$

${[S^{ij},G] = [V^{ij},G] = 0}$ for ${\forall G}$