物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

ネットワーク科学への招待

SGCライブラリ - 65

ネットワーク科学への招待

世界の“つながり”を知る科学と思考

青山秀明・相馬亘・藤原義久 共編著

2008年7月25日 初版発行

物理・数理

振動子ネットワーク

1振動子に周期外力が作用する系を考える。

外力の作用の強さ {\kappa} の1次摂動に対する運動方程式:

 {\dot{\phi} = \omega + \kappa f(\phi - \Omega t)}

  •  {\phi}:振動子の位相
  •  {\omega}:振動子の固有振動数
  •  {f(\phi)} {\phi} {2\pi} 周期関数

位相差  {\psi = \Omega t - \phi} で書き換えると

 {\dot{\psi} = \Delta\omega + \kappa f(-\psi)}

振動数のミスマッチ  {\Delta\omega \equiv \Omega - \omega} が外力の大きさ( {\sim \kappa})よりも小さい場合、 {\dot{\psi} = 0} なる安定解が必ず存在する。( {\dot{\phi} = \Omega}

したがって、振動子は周期外力に引き込まれ、外力の振動数と完全に一致した振動数を持つようになる。

サイズが  {N} のネットワーク系を考える。

振動子の固有振動数は一様に  {\omega} であるが、振動子  {1 \lt i \lt N_1} が振動数  {\Omega \equiv \omega + \Delta\omega} を持つペースメーカーから直接接続を受けていると仮定する。

 {\displaystyle \dot{\phi}_i = \omega + \frac{\kappa}{z}\sum_{j=1}^NA_{ij}f(\phi_i - \phi_j)\quad} for  {i \gt N_i}

 {\phi_i = \Omega t\quad} for  {i \le N_1}

  • 結合行列  {\mathbf{A}} の各要素  {A_{ij}} {1} {0} の値をとる。
  • 平均次数  {z} は各振動子の持つ総入力数の平均
  • 正の定数  {\kappa} は結合の強さ
  •  {f(x) = -\sin(x)}

結合強度  {\kappa} を上げていくと、内部の同期性を保ちながら、次第にペースメーカーの振動数に近づいていく。

ある結合強度( {\kappa = \kappa_{\mathrm{cr}}})で全集団が一気にペースメーカーに引き込まれる。

結合強度をさらに上げると、引き込みは保たれたまま、ペースメーカーと振動子集団との位相差が小さくなっていく。

ランダム・ウォーク

同じ頂点から始まるランダム・ウォークを多数回走らせて、何らかの統計量を問う。

  • 時刻  {n} における出発点  {v_s} からの距離の分布
  • それまでに訪れた頂点数の分布
  • 再び  {v_s} に戻ってくる確率  {y_n}
  • 初めて  {v_s} に戻る確率  {x_n}
  • 初めて頂点  {v_e (\neq v_s)} に達する確率

 {\displaystyle y_n = \sum_{n^{\prime} = 1}^nx_{n^{\prime}}y_{n - n^{\prime}} + \delta_{n,0}}

 {x_n,y_n} の生成関数を定義する:

  •  {\displaystyle X(z) \equiv \sum_{n=0}^{\infty}x_nz^n}
  •  {\displaystyle Y(z) \equiv \sum_{n=0}^{\infty}y_nz^n}

 {Y(z) = X(z)Y(z) + 1}

 {\mathrm{Prob}\,(x_n \lt \infty) = 1} のとき、ランダム・ウォークは再帰的であるという。

再帰的であることは  {X(1) = 1} であることと同値である。

ゴルトン・ワトソン木

頂点次数  {k} が頂点ごとに独立に、前もって用意した次数分布  {\{p_k\}} に従って決められたグラフ上の、ある1点 O を起点とするランダム・ウォークを考える。

 {q_n} を時刻  {2n} でウォーカーが初めて O に帰る確率とする。( {q_n = x_{2n}}

 {\{q_n\}} の生成関数  {Q(z)}

 {\displaystyle Q(z) \equiv \sum_{n=0}^{\infty}q_nz^n}

ゴルトン・ワトソン木上のランダム・ウォークは非再帰的と知られているので、 {Q(1) \lt 1} である。

各部分木ウォークの長さ(O' から出発して O' に戻る)の分布は、元のランダム・ウォークが O から出発して O に初めて戻るまでの時間の分布に等しいと近似する。

 {\displaystyle q_n = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{p_k}{k}\sum_{a=0}^{\infty}\left(\frac{k-1}{k}\right)^a\sum_{n_i}\prod_{a^{\prime} = 1}^aq_{n_{a^{\prime}}}}

ただし、 {n_i} についての和は、 {\sum_{i=1}^an_i = n - 1,\,(n_i \ge 0)} となるような  {n_1,n_2,\dots,n_a} についてのみとする。

 {\displaystyle Q(z) = z\sum_{k=1}^{\infty}\frac{p_k}{k}\sum_{a=0}^{\infty}\left(\frac{k-1}{k}\right)^aQ(z)^a = z\sum_{k=1}^{\infty}\frac{p_k}{k - (k - 1)Q(z)}}

 {Q(1) \lt 1} となる解を探すために右辺を展開する。

 {\displaystyle Q(z) = \frac{zM[Q(z)]}{Q(z)}}

  •  {\displaystyle M(z) \equiv \sum_{n=1}^{\infty}m_nz^n}
  •  {\displaystyle m_n \equiv \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(k - 1)^{n-1}}{k^n}p_k}

ラグランジュの反転公式

 {z = w/f(w)} と置き、 {w/f(w)} {w = 0} の近傍で解析的とする。

もし、もう一つの関数  {g} が無限回微分可能ならば

 {\displaystyle g(w(z)) = g(0) + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\left[\frac{d^{n-1}}{du^{n-1}}[g^{\prime}(u)f(u)^n]\right]_{u=0}}

 {w(z) = Q(z)} {f(w) = M(w)/w} {g(w) = w} として公式を用いる:

 {\displaystyle Q(z) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\left[\frac{d^{n-1}}{du^{n-1}}\left(\frac{M(u)}{u}\right)^n\right]_{u=0}}

 {\displaystyle M(u)^n = \sum_{n^{\prime} = n}^{\infty}u^{n^{\prime}}\sum_{\lambda \vdash n^{\prime}}^{\prime}\frac{n!}{\prod_{l=1}^{\infty}i_{\lambda}(l)!}\prod_{l=1}^{\infty}m_l^{i_{\lambda}(l)}}

  •  {\lambda \vdash n^{\prime}} {n^{\prime}} の自然数への分割
  • 分割  {\lambda = (1^{i_{\lambda}(1)}2^{i_{\lambda}(2)}\cdots)} は、  {1} {\lambda} {i_{\lambda}(1)} 個含まれ…という意味
  •  {\displaystyle \sum^{\prime}} {n^{\prime}} の分割  {\lambda} のうち、 {\sum_{l=1}^{\infty}i_{\lambda}(l) = n} となるものだけについての和を表す。

 {M(u)^n} {u^{2n-1}} に比例する項のみが生き残るので、 {n^{\prime} = 2n - 1} の項だけ取り出せばよい。

 {\displaystyle Q(z) = \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{\lambda \vdash 2n - 1}^{\prime}c_{\lambda}^{(n)}\prod_{l=1}^{\infty}m_l^{i_{\lambda}(l)}}

 {\displaystyle c_{\lambda}^{(n)} = \frac{(n - 1)!}{\prod_{l=1}^{\infty}i_{\lambda}(l)!}}

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