物理のためのリー群とリー代数
SGCライブラリ - 66
物理のためのリー群とリー代数
窪田高弘 著
2008年9月25日 初版発行
序論
集合 が群であるとは、 が次の性質を満たす場合のことである。
- に対して演算 が定義されており、 である。
- 演算 は結合法則 を満たす。
- に対して を満たす が存在する。
- に対して を満たす が存在する。
実数体 あるいは複素数体 上の の正則行列の集合をそれぞれ 、 と書く。
群 から または への写像 or が以下を満たすとき、 は群 の 行 列の表現であるという:
群 の表現が、すべての に対して適当な相似変換によって
$$ D(a) = \begin{pmatrix} D_1(a) & X(a) \\ 0 & D_2(a)\end{pmatrix} $$
という形にできるとき、この表現は可約表現であるという。
可約でない表現は既約表現であるという。
特に、群の表現が相似変換によって以下の形にできるとき、その表現は完全可約であるという:
$$ D(a) = \begin{pmatrix} D_1(a) & 0 \\ 0 & D_2(a) \end{pmatrix} $$
群 の表現 がユニタリーであるならば、その表現は完全可約である。
連続変換群
個の変数の組 を以下の公式で に変換することを考える。
変換の集合は、以下の条件を満足するときに群をなすという:
- という関係があるとき、 という関係式を満足するパラメータ が必ず存在する。
- (結合法則)
- を満足する が存在する。(単位元)
- を満足する が存在する。(逆元)
が について連続であるとき、この群を連続変換群と呼ぶ。 特に、 についてある回数、微分可能である場合、この群のことをリー群と呼ぶ。
リー代数
ベクトル空間の任意の元 に対して以下の性質を満たす交換子 が定義されていて、かつ がもとのベクトル空間の元であるならば、この空間はリー代数であるという:
リー代数の任意の元 を、正方行列に対応させる写像を とする。
が以下の性質を満足するとき、写像 をリー代数の表現であるという: