重点解説 基礎微分幾何
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重点解説 基礎微分幾何
局面、多様体、テンソル、微分形式、リーマン幾何
塩谷隆 著
2009年11月25日 初版発行
曲面
を実数直線 の区間とする。
写像 を平面 上の曲線と呼ぶ。
曲線 の における微分 を の接ベクトルと呼ぶ。
を正方向に だけ回転したベクトルを とおき、 の単位法ベクトルと呼ぶ。
で決まる を曲線 の における曲率と呼ぶ。
第1基本量
のベクトルの標準内積を で表すとき、 上の4つの関数
を第1基本量またはリーマン計量と呼ぶ。
$$ g := \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} $$
第1基本形式
第2基本量
曲面 の単位法ベクトル
4つの関数
を第2基本量と呼ぶ。
第2基本形式
曲率
1点 を固定し、 とおく。
点 から出る単位法ベクトル を含む の中の平面 を1つとる。
- と仮定する。
- とおく。
で決まる実数 を における 方向の法曲率と呼ぶ。
における接平面 に含まれる単位ベクトル をすべて動かして、法曲率の最大値 と最小値 を考える。( における主曲率)
をそれぞれ実現する単位ベクトル を主方向と呼ぶ。
- 平均曲率:
- ガウス曲率: