物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

重点解説 基礎微分幾何

SGCライブラリ - 70

重点解説 基礎微分幾何

局面、多様体、テンソル、微分形式、リーマン幾何

塩谷隆 著

2009年11月25日 初版発行

曲面

 {I} を実数直線  {\mathbb{R}} の区間とする。

写像  {c: I \to \mathbb{R}^2} を平面  {\mathbb{R}^2} 上の曲線と呼ぶ。

曲線  {c: I \to \mathbb{R}^2} {t \in I} における微分  {c^{\prime}(t)} {c} の接ベクトルと呼ぶ。

 {c^{\prime}(s)} を正方向に  {\pi / 2} だけ回転したベクトルを  {n(s)} とおき、 {c} の単位法ベクトルと呼ぶ。

 {c^{\prime\prime}(s) = \kappa(s)n(s)} で決まる  {\kappa(s)} を曲線  {c} {c(s)} における曲率と呼ぶ。

第1基本量

 {\mathbb{R}^3} のベクトルの標準内積を  {\langle\cdot,\cdot\rangle} で表すとき、 {D} 上の4つの関数

 {g_{ij} := \langle\partial_i,\partial_j\rangle\quad (i,j = 1,2)}

を第1基本量またはリーマン計量と呼ぶ。

$$ g := \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} $$

第1基本形式

 {\displaystyle ds^2 := \sum_{i,j = 1,2}g_{ij}du^idu^j}

第2基本量

曲面  {S} の単位法ベクトル

 {\displaystyle n(u^1,u^2) := \frac{\partial_1 \times \partial_2}{||\partial_1 \times \partial_2||}}

4つの関数

 {h_{ij} := \langle\partial^2 S/\partial u^i\partial u^j,n\rangle\quad (i,j = 1,2)}

を第2基本量と呼ぶ。

第2基本形式

 {\displaystyle II := \sum_{i,j = 1,2}h_{ij}du^idu^j}

曲率

1点  {u_0^1,u_0^2 \in D} を固定し、 {p := S(u_0^1,u_0^2)} とおく。

 {p} から出る単位法ベクトル  {n(u_0^1,u_0^2)} を含む  {\mathbb{R}^3} の中の平面  {P} を1つとる。

  •  {c(0) = p} と仮定する。
  •  {v := c^{\prime}(0)} とおく。

 {c^{\prime\prime}(0) = \kappa n(u_0^1,u_0^2)} で決まる実数  {\kappa} {p = c(0)} における  {v} 方向の法曲率と呼ぶ。

 {p} における接平面  {T_pS} に含まれる単位ベクトル  {v} をすべて動かして、法曲率の最大値  {\kappa_1} と最小値  {\kappa_2} を考える。( {p} における主曲率)

 {\kappa_1,\,\kappa_2} をそれぞれ実現する単位ベクトル  {v_1,\,v_2} を主方向と呼ぶ。

  • 平均曲率: {\displaystyle H := \frac{\kappa_1 + \kappa_2}{2}}
  • ガウス曲率: {K := \kappa_1\kappa_2}

微分可能多様体

テンソル場と微分形式

リーマン多様体