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ε-δ 論法再入門

数学

SGCライブラリ - 71

ε-δ 論法再入門

直観から論理へ

中神祥臣　著

2009年12月25日　初版発行

{\varepsilon}- {\delta} 論法の誕生（コーシー、ワイエルシュトラス）

数列の極限

{\{x_n\}} を数列とする。

任意の正数 {\varepsilon} に対して、

{n \ge n_0 \,\Rightarrow\, |x_n - a| \lt \varepsilon}

を満たす {n_0 \in \mathbb{N}} が存在するとき、数列 {\{x_n\}} は {a} へ収束するといい、以下で表す。

{\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n = a}

このとき、 {a} を数列 {\{x_n\}} の極限という。

関数の極限

{f} を関数とする。

任意の正数 {\varepsilon} に対して、

{0 \lt |x - a| \lt \delta \,\Rightarrow\, |f(x) - b| \lt \varepsilon}

を満たす正数 {\delta} が存在するとき、関数 {f} は {b} へ収束するといい、以下で表す。

{\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = b}

このとき、 {b} を関数 {f} の {x \to a} のときの極限という。

実数についてのお話（デデキント、カントール、ヒルベルト）

実数 {\mathbb{R}} という集合は次の４条件で定義される。

  • 四則演算（加減乗除）が成り立つ。
  • 四則演算と両立する大小関係 {\le} が与えられている。
  • アルキメデスの公理： {0 \le x,\,0 \le y} を満たす任意の数 {x,\,y} に対して、 {x \neq 0} ならば、 {x} を何個か加えると {y \le x = x + \cdots + x} となる。
  • カントールの性質：閉区間の縮小列 {\{I_n\}_{n \in \mathbb{N}}} の共通部分 {\bigcap_{n \in \mathbb{N}}I_n} は空ではない。

閉区間の２等分を繰り返して、所要の要素を求める論法を二分法という。

コーシー列

数列 {\{x_n\}} が次の条件を満たすとき、 {\{x_n\}} をコーシー列といい、条件をコーシーの（収束）判定条件という。

任意の {\varepsilon \gt 0} に対して

{n,m \ge n_0 \,\Rightarrow\, |x_n - x_m| \lt \varepsilon}

を満たす自然数 {n_0} が存在する。

コーシー列は収束列である。（完備性）

記号論理（ブール、ラッセル、ツェルメロ・フレンケル）

命題 {a,\,b} に対して、次の４つの論理演算を導入する。

  • {a \wedge b}： {a} かつ {b}
  • {a \vee b}： {a} または {b}
  • {\neg a}： {a} ではない
  • {a \Rightarrow b}： {a} ならば {b}

命題 {a \Rightarrow b} と命題 {b \Rightarrow a} が同時に成り立つとき、 {a} と {b} は必要十分または同値であるといい、 {a \Longleftrightarrow b} で表す。

  • {a \Rightarrow b} とその対偶 {(\neg b) \,\Rightarrow\, (\neg a)} は必要十分である。
  • {a \Rightarrow b} と {(\neg a) \vee b} は必要十分である。

ド・モルガンの法則：

  • {\neg(\forall\,x:p(x)) \,\Longleftrightarrow\, \exists\,x:\neg p(x)}
  • {\neg(\exists\,x:p(x)) \,\Longleftrightarrow\, \forall\,x:\neg p(x)}
  • {\neg(\forall\,x \in A:p(x)) \,\Longleftrightarrow\, \exists\,x \in A:\neg p(x)}
  • {\neg(\exists\,x \in A:p(x)) \,\Longleftrightarrow\, \forall\,x \in A:\neg p(x)}

数列の収束を論理記号を使って書く。

数列 {\{a_n\}} が

{\exists\,a \in \mathbb{R}\,\forall\,\varepsilon \gt 0\,\exists\,n_0 \in \mathbb{N}\,\forall\,n \in \mathbb{N}\,:\,n \ge n_0 \,\Rightarrow\, |a_n - a| \lt \varepsilon}

を満たすとき、 {\{a_n\}} はある数 {a} へ収束するという。

ド・モルガンの法則を使って書き直す。

{\forall\,a \in \mathbb{R}\,\exists\,\varepsilon \gt 0\,\forall\,n_0 \in \mathbb{N}\,\exists\,n \in \mathbb{N}\,:\,(n \ge n_0) \wedge (|a_n - a| \ge \varepsilon)}

数列 {\{a_n\}} が

{\forall\,\varepsilon \gt 0\,\exists\,n_0 \in \mathbb{N}\,\forall\,n \in \mathbb{N}\,:\,n \ge n_0\,\Rightarrow\,a_n \gt \varepsilon}

を満たすとき、正の無限大（ {+ \infty}）へ発散するという。 {\forall\,\varepsilon \gt 0\,\exists\,n_0 \in \mathbb{N}\,\forall\,n \in \mathbb{N}\,:\,n \ge n_0\,\Rightarrow\,a_n \lt -\varepsilon}

を満たすとき、負の無限大（ {- \infty}）へ発散するという。

関数の連続性

一様収束と一様連続

微分（ニュートン、ライプニッツ）

級数

二重級数

積分（リーマン、ルベーグ）