SGCライブラリ - 73

問題例で深める物理

統一的思考力を身につけるために

香取眞理・中野徹　共著

2010年5月25日　初版発行

物理学の縦糸と横糸

ラプラス方程式

ポアッソン方程式

波動方程式

$\left(\Delta - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\varphi = -\frac{\rho_e}{\varepsilon_0}$
$\left(\Delta - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J}$
$\left(\Delta - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\phi = 4\pi G\rho$

古典力学と量子力学の対応

（１次元）調和振動子

${X(t) = A\cos(\omega t + \theta_0)}$

質点の運動エネルギー ${K(t)}$ と位置エネルギー ${U(t)}$ は周期 ${T}$ の周期関数：

$K(t) + U(t) = \frac{1}{2}m\dot{X}(t)^2 + \frac{1}{2}kX(t)^2 = \frac{1}{2}m\omega^2A^2 \equiv E$

調和振動子を量子力学的に記述するシュレーディンガー方程式

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) = \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)\right]\Psi(x,t)$

${\Psi(x,t) = u(x)e^{-iEt/\hbar}}$ とおくと、 ${E}$ と ${u(x)}$ は右辺の演算子（ハミルトニアン）の固有値問題の解として与えられる。

$E_n = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right)$

$u_n(x) = \frac{1}{\sqrt{x_0}}\varphi_n\left(\frac{x}{x_0}\right)$

エルミート多項式：

$H_n(z) = n!\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\frac{(2z)^{n-2k}}{k!(n - 2k)!}$

${[a]}$ は ${a}$ を超えない最大の整数。

ベルヌーイ試行：特定の事象が起こる確率 ${p}$ の値が一定である試行

${X = n}$ である確率（ ${0 \le n \le N}$ ）

${P(n) = {}_NC_np^nq^{N - n}}$

${N}$ 個の独立な粒子からなる系を考える。

粒子は ${-\varepsilon}$ と ${\varepsilon}$ の２つのエネルギー状態しか取り得ないものとする。（二準位系）

各粒子が励起状態にある確率を ${p}$ 、基底状態にある確率を ${q}$ とする。

$p = \frac{e^{-\varepsilon/k_{\mathrm{B}}T}}{e^{-\varepsilon/k_{\mathrm{B}}T} + e^{\varepsilon/k_{\mathrm{B}}T}}$
$q = \frac{e^{\varepsilon/k_{\mathrm{B}}T}}{e^{-\varepsilon/k_{\mathrm{B}}T} + e^{\varepsilon/k_{\mathrm{B}}T}}$