物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

数物系のための圏論

SGCライブラリ - 75

数物系のための圏論

導来圏、三角圏、A∞ 圏を中心に

梶浦宏成 著

2010年7月25日 初版発行

背景と概観

対象  {X,\,Y} は、射  {f: X \to Y,\,g: Y \to X} であって以下を満たすものが存在するとき、同型であるといわれる。

  •  {g \circ f = id_X}
  •  {f \circ g = id_Y}

対象  {X,\,Y} の間の2つの写像  {f,g: X \to Y} がある条件を満たすとき  {f} {g} はホモトピックであるとし、 {f \stackrel{\mathrm{h.e.}}{\sim} g} と表す。

対象  {X,\,Y} がホモトピー同値であるとは、

  •  {[f] \in \{X \to Y\}/\stackrel{\mathrm{h.e.}}{\sim}}
  •  {[g] \in \{Y \to X\}/\stackrel{\mathrm{h.e.}}{\sim}}

が存在し、以下が成り立つときをいう。

  •  {[g] \circ [f] = [id_X] \in \{X \to X\}/\stackrel{\mathrm{h.e.}}{\sim}}
  •  {[f] \circ [g] = [id_Y] \in \{Y \to Y\}/\stackrel{\mathrm{h.e.}}{\sim}}

集合論、環と加群の基礎

 {R} を環とする。

加法群  {M} が右  {R} 加群であるとは、写像  {m: M \times R \to M} {m(\xi,a) =: \xi \cdot a \in M} であって、以下の条件を満たすものが存在するときをいう。

  •  {(\xi + \xi^{\prime}) \cdot a = (\xi \cdot a) + (\xi^{\prime} \cdot a)}
  •  {\xi \cdot (a + b) = (\xi \cdot a) + (\xi^{\prime} \cdot a)}
  •  {(\xi \cdot a) \cdot b = \xi \cdot (a \cdot b)}
  •  {\xi \cdot 1_R = \xi}

このとき、写像  {m} {R} の右作用と呼ぶ。同様にして、左  {R} 加群も定義される。

 {R} が可換環の場合、 {R} の右作用と左作用の区別がなくなるので単に  {R} 加群と呼ぶ。

ベクトル空間と加群のホモロジー代数

加法群の間の写像  {f: X \to Y}

  • 核: {\mathrm{Ker}(f) := \{x \in X\,|\,f(x) = 0_Y\}}
  • 像: {\mathrm{Im}(f) := \{f(x)\,|\,x \in X\}}
  • 余核: {\mathrm{Coker}(f) := Y/\mathrm{Im}(f)}
  • 余像: {\mathrm{Coim}(f) := X/\mathrm{Ker}(f)}

準同型定理

加法群の同型  {\mathrm{Coim}(f) \simeq \mathrm{Im}(f)} が存在する。

 {i \in \mathbb{Z}} に対して  {X^i} を加法群、 {d^i: X^i \to X^{i+1}} を加法群の間の写像とする。

すべての  {i \in \mathbb{Z}} について  {d^{i+1} \circ d^i  = 0} であるとき、系列  {\{X^i,d^i\}_{i \in \mathbb{Z}}} を複体と呼ぶ。

 {d^{i+1} \circ d^i = 0} という条件は  {\mathrm{Im}(d^i) \subset \mathrm{Ker}(d^{i+1})} であることと同値である。

加法群の複体  {\{X^i,d^i\}_{i \in \mathbb{Z}}} に対し、剰余加法群

 {H^i(X) := \mathrm{Ker}(d^i)/\mathrm{Im}(d^{i-1})}

のことを  {i} 次のコホモロジーという。

導来圏

 {\mathcal{C}} とは

  • ある数学的対象のクラス  {\mathrm{Ob}(\mathcal{C})}
  • 任意の2つの元  {X,Y \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})} に対して集合  {\mathrm{Hom_{\mathcal{C}}}(X,Y)}、ただし  {X,X^{\prime},Y,Y^{\prime} \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})} に関して  {X \neq X^{\prime}} または  {Y \neq Y^{\prime}} ならば  {\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,Y) \cap \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X^{\prime},Y^{\prime}) = \emptyset}
  • 任意の元  {X,Y,Z \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})} に対する写像  {\circ: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(Y,Z) \times \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,Y) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,Z)}

が与えられていて、以下の2つの条件を満たすものである。

  • 結合律: {X,Y,Z,W \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})},  {f \in \mathrm{Hom_{\mathcal{C}(X,Y)}}},  {g \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(Y,Z)},  {h \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(Z,W)} に対して  {h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f}
  • 恒等射の存在:任意の元  {X \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})} に対して元  {id_X \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,X)} が存在し、任意の  {X,Y \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})} {f \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,Y)} に対し  {f \circ id_X = f = id_Y \circ f}

三角圏

有限次元代数の表現論

 {A_{\infty}} 圏と三角圏