SGCライブラリ - 80

超弦理論の基礎

弦とブレーンの導入から

今村洋介　著

2011年1月25日　初版発行

ボゾン的弦理論

無限に広がった ${D}$ 次元の平坦な時空の中を弦が運動している様子を考える。（背景時空）

ローレンツ変換の下で不変な計量

$ds^2 = \sum_{I = 0}^{D - 1}\sum_{J = 0}^{D - 1}\eta_{IJ}dX^IdX^J$

${\eta_{IJ} = \mathrm{diag}(-1,1,\dots,1)}$

弦の世界面上に任意の座標 ${(\tau,\sigma)}$ を導入し、その関数として時空の座標 ${X^I(\tau,\sigma)}$ を与える。

${\sigma^0 = \tau, \sigma^1 = \sigma}$ のように書き、まとめて ${\sigma^{\alpha}}$ と表す。

座標 ${\sigma^{\alpha}}$ によって張られる世界面を時空とみなす観点では、弦理論は２次元の場 ${X^I(\sigma^{\alpha})}$ の理論であるということもできる。（共形場理論）

南部–後藤作用

$S_{\mathrm{NG}} = -T_{\mathrm{str}}($ 世界面の面積 $) = -T_{\mathrm{str}}\int\sqrt{-\det G_{\alpha\beta}}d^2\sigma$

${T_{\mathrm{str}}}$ ：弦の張力
$G_{\alpha\beta} = \frac{\partial X^I}{\partial\sigma^{\alpha}}\frac{\partial X^J}{\partial\sigma^{\beta}}\eta_{IJ}$ ：誘導計量

閉弦の境界条件

${X^I(\tau,\sigma + 2\pi) = X^I(\tau,\sigma)}$

補助場 ${h_{\alpha\beta}}$ を導入し、作用を変形する。（ポリヤコフ作用）

$S_{\mathrm{P}} = -\frac{T_{\mathrm{str}}}{2}\int\sqrt{-h}h^{\alpha\beta}G_{\alpha\beta}d^2\sigma$

弦のスペクトル

基底状態： ${|p\rangle T(p)}$

エネルギーは零点エネルギーのみの寄与によって与えられる。

$M^2 = -\frac{D - 2}{6\alpha^{\prime}}$

${D \gt 2}$ であることを仮定すれば、質量の２乗が負となる。（タキオン）

第一励起状態： ${a_{-1}^i\tilde{a}_{-1}^j|p\rangle C_{ij}(p)}$

$M^2 = \frac{26 - D}{6\alpha^{\prime}}$

弦の第一励起状態を ${D}$ 次元時空の場の自由度と解釈できるためには、 ${D}$ 次元時空には２階のテンソル場が存在し、それが零質量場である必要がある。

${D = 26}$ （臨界次元）

超弦理論

超対称性：ボゾンとフェルミオンの間の対称性

${\{Q_a,Q_b\} = 2(C\Gamma_M)_{ab}P^M + \cdots}$

Ramond–Neveu–Schwarz (RNS) の定式化：

時空座標 ${X^I}$ それぞれについて対になるフェルミオン場 ${\Psi^I}$ を導入する。

世界面上の超対称性

${\alpha^{\prime - 1 / 2}\delta X^I = \epsilon\Psi^I}$
${\delta\Psi^I = \alpha^{\prime -1 / 2}\gamma^{\alpha}(\partial_{\alpha}X^I)\epsilon}$