共形変換

直交変換

${d}$ 次元ユークリッド空間 ${\mathbf{R}^d}$

直交座標 ${x^{\mu} = (x^0,\dots,x^{d-1})}$

${ds^2 = g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu} = (dx^0)^2 + \cdots + (dx^{d-1})^2}$

座標 ${x^{\mu}}$ の１次変換 ${x^{\mu} \to x^{\prime\mu} = \Lambda^{\mu}{}_{\nu}x^{\nu}}$ で計量の形を変えないような変換を直交変換という。

${g_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}{}_{\rho}\Lambda^{\nu}{}_{\sigma} = g_{\rho\sigma}}$

無限小直交変換

${x^{\prime\mu} = x^{\mu} + \epsilon^{\mu}{}_{\nu}x^{\nu},\quad \Lambda^{\mu}{}_{\nu} = \delta^{\mu}_{\nu} + \epsilon^{\mu}{}_{\nu}}$

共形変換

物理ノート