SGCライブラリ - 86

リーマン予想の数理物理

ゼータ関数と分配関数

黒川信重・小山信也　共著

2011年11月25日　初版発行

リーマン予想・ゼータ関数・分配関数

リーマン予想

リーマン・ゼータ関数

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}$

の零点（ ${\zeta(s) = 0}$ となる複素数 ${s}$ ）のうち実数でないものはすべて実部が ${\frac{1}{2}}$ であろう。

オイラー積表示

$\zeta(s) = \prod_{p: \text{素数}}(1 - p^{-s})^{-1}$

リーマン予想には、素数の分布問題が密接に関係している。

ボーア兄弟の 1913 年：ゼータ関数と分配関数

ハラル・ボーアとエドムント・ランダウによる証明（1913年）

どんなに幅（ ${2\varepsilon}$ ）を狭くしても漸近的に（確率１で）リーマン予想は成立する。

$\lim_{T \to \infty}\frac{N_{\varepsilon}(T)}{N(T)} = 1$ がすべての ${\varepsilon \gt 0}$ に対して成立する。

$N_{\varepsilon}(T) = \#\left\{\rho\,|\,\zeta(\rho) = 0,\,0 \lt \mathrm{Im}(\rho) \lt T,\, \frac{1}{2} - \varepsilon \le \mathrm{Re}(\rho) \le \frac{1}{2} + \varepsilon\right\}$

${N(T) = N_{\frac{1}{2}}(T)}$

${N_0(T)}$ が本当にリーマン予想を満たす零点を数えているのであり、 ${N}_{\varepsilon}(T)$ はその近傍を見ている。

ゼータ関数の零点

ボーア・ランダウの定理

$f(s) = \sum_{m=1}^{\infty}\frac{a_m}{m^s}$

は ${\sigma = \mathrm{Re}(s) \gt 0}$ で収束していて、恒等的に ${0}$ ではないものとする。

すると、各 ${\sigma \gt 0}$ に対して

$\sigma \ge \frac{1}{2},\quad -T \lt t = \mathrm{Im}(s) \lt T$

における零点の個数 ${N(T)}$ は ${O(T)}$ である。

自然数 ${k \ge 1}$ に対して、 ${\chi(m)}$ を ${\bmod k}$ の原始的な（ディリクレ）指標とし、

$L(s) = \sum_{m=1}^{\infty}\frac{\chi(m)}{m^s}$

とおく。

${k = 1}$ のとき ${L(s)}$ は ${\zeta(s)}$ である。
${\chi \neq 1}$ なら ${L(s)}$ は ${\sigma \gt 0}$ において収束する。
${\chi = 1}$ なら ${(1 - 2^{1 - s})\zeta(s)}$ は ${\sigma \gt 0}$ において収束する。

よって各 ${\sigma \gt 0}$ に対して、 ${L(s)}$ の ${\sigma \gt \frac{1}{2} + \delta,\, -T \le t \le T}$ における零点の個数は ${O(T)}$ となる。

一方、 ${0 \lt \sigma \lt 1,\,-T \le t \le T}$ における零点の個数は漸近的に ${\frac{1}{\pi}T\log T}$ なので次を得る。

各 ${\delta \gt 0}$ に対して、 ${0 \lt \sigma \lt 1,\,-T \le t \le T}$ における零点の個数を ${\Phi(T)}$ とし、 ${\frac{1}{2} - \delta \lt \sigma \lt \frac{1}{2} + \delta,\,-T \le t \le T}$ における零点の個数を ${\Psi(T)}$ とおくと

$\lim_{T \to \infty}\frac{\Psi(T)}{\Phi(T)} = 1$

${L(s)}$ の零点は直線 ${\sigma = \frac{1}{2}}$ の近傍に存在している。

分配関数の零点

リー・ヤンの定理

互いに異なる整数 ${\alpha,\beta\,(1 \lt \alpha,\beta \lt n)}$ に対し絶対値が ${1}$ 以下の実数列 ${x_{\alpha,\beta}}$ が与えられ、 ${x_{\alpha,\beta = x_{\beta,\alpha}}}$ を満たすとする。