物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

CP 対称性の破れ

SGCライブラリ - 91

CP対称性の破れ

小林・益川模型から深める素粒子物理

林青司 著

2012年6月25日 初版発行

対称性と物理学

物理学における対称性:物理法則がある変換の下で不変か?

物理法則の不変性は作用積分の不変性と同等。

素粒子の弱い相互作用における離散的対称性の破れ

 {K^0 \leftrightarrow \bar{K}^0} 混合

CP 対称性が破れていない場合、 {K} 中間子の質量固有状態は  {K_1,\,K_2}

  •  {\displaystyle |K_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|K^0\rangle - |\bar{K}^0\rangle)}
  •  {\displaystyle |K_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|K^0\rangle + |\bar{K}^0\rangle)}

現実の CP 対称性が破れた世界では、質量の確定した状態は  {K_L,\,K_S} と呼ばれる状態になる。

 {K_L,\,K_S} の寿命はそれぞれ  {\tau_L = 5.2 \times 10^{-8}\,(\mathrm{s}),\,\tau_S = 8.9 \times 10^{-9}\,(\mathrm{s})}

 {K_L} {K_S} の質量差:

 {\Delta m_K \equiv m_{K_L} - m_{K_S} = (3.483 \pm 0.006) \times 10^{-12}\,(\mathrm{MeV})}

 {K^0 \leftrightarrow \bar{K}^0} ではストレンジネスが2変化する:FCNC (flavor changing neutral current) 過程

CP の破れがない場合、 {K_S = K_1,\,K_L = K_2} となる。

  •  {CP|K_1\rangle = |K_1\rangle}
  •  {CP|K_2\rangle = -|K_2\rangle}

CP 対称性がある限り、  {K_1} は2個のパイ中間子に崩壊できるが、 {K_2} は2個のパイ中間子には崩壊できず、3個のパイ中間子にのみ崩壊可能となる。

1964 年にクローニン・フィッチらは  {K_L \to \pi^+ + \pi^-} が起きていること、すなわち CP 対称性が破れていることを発見した。

 {K_L \to \pi^+ + \pi^-} の崩壊確率は  {K_S \to \pi^+ + \pi^-} に比べて  {5 \times 10^{-6}} 程度で非常に小さい。

場の理論における離散的対称性

弱い相互作用の典型例:中性子のベータ崩壊

接触相互作用(contact interaction)

 {\displaystyle \frac{G_F}{\sqrt{2}}\bar{u}\gamma^{\mu}(1 - \gamma_5)d^0\cdot\bar{e}\gamma_{\mu}(1 - \gamma_5)\nu_e + \mathrm{h.c.} = 2\sqrt{2}G_F\bar{u}_L\gamma^{\mu}d_L^0\cdot\bar{e}_L\gamma_{\mu}\nu_{eL} + \mathrm{h.c.}}

  •  {d^0} はフレーバー混合のために  {d} クォークに  {s,\,b} クォークも混ざった 状態
  • フェルミ結合定数: {G_F = 1.166 \times 10^{-5}\,(\mathrm{GeV}^{-2}) = 1.027 \times 10^{-5}\,(m_P)^{-2}}

この相互作用ラグランジアンは CP 変換の下で不変だが、仮にフェルミ結合定数  {G_F} が複素数だとすると、変換の下で不変ではなくなる。

CP 対称性を破るためには一般に複素数の、すなわち位相を持った結合定数が必要となる。

ヤン・ミルズ理論

 {SU(n)} の基本表現に属する  {n} 個のディラック・スピノールを導入する。

$$ \Psi = \begin{pmatrix}\psi_1 \\ \psi_2 \\ \vdots \\ \psi_n \end{pmatrix} $$

 {\Psi} {SU(n)} ゲージ変換:

 {\Psi \to \Psi^{\prime} = U\Psi}

  •  {U = e^{ig\lambda^aT^a}}
  •  {SU(n)} の微小変換の生成子  {T^a}

共変微分

 {D_{\mu}\Psi = (\partial_{\mu} - igA_{\mu}^aT^a)\Psi}

場の強さテンソル  {F_{\mu\nu}^a} ( {a = 1,2,\dots,n^2 - 1})

 {\displaystyle F_{\mu\nu} = \frac{i}{g}[D_{\mu},D_{\nu}] = \partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu} - ig[A_{\mu},A_{\nu}]}

  •  {A_{\mu} = A_{\mu}^aT^a}
  •  {F_{\mu\nu} = F_{\mu\nu}^aT^a}

ゲージ不変なゲージ場の運動項

 {\displaystyle \mathcal{L}_{gk} = -\frac{1}{2}\mathrm{Tr}\,(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})}

素粒子の標準模型

標準模型では、 {SU(2)_L \times U(1)_Y} ゲージ対称性がヒッグス場の真空期待値によって破られる。

 {\displaystyle H = \binom{\phi^+}{\phi^0}}

ヒッグス場の真空期待値:

 {\displaystyle \langle H\rangle = \binom{0}{\frac{v}{\sqrt{2}}}}

ヒッグス場の運動項

 {\mathcal{L}_H = (D_{\mu}H)^{\dagger}(D^{\mu}H)}

 {\displaystyle D_{\mu}H = \left[\partial_{\mu} - i\left(gA_{\mu}^a\frac{\sigma^a}{2} + g^{\prime}B_{\mu}\frac{1}{2}\right)\right] H}

ゲージ場の質量2乗項

 {\displaystyle \left|\left(gA_{\mu}^a\frac{\sigma^a}{2} + g^{\prime}B_{\mu}\frac{1}{2}\right)\binom{0}{\frac{v}{\sqrt{2}}}\right| = \left(\frac{gv}{2}\right)^2W_{\mu}^+W^{-\mu} + \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}v}{2}\right)^2Z_{\mu}Z^{\mu}}

  •  {\displaystyle M_W = \frac{gv}{2}}
  •  {\displaystyle M_Z = \frac{\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}v}{2}}

フレーバー混合と FCNC 過程

小林・益川の3世代模型と CP 対称性の破れ

小林・益川模型における FCNC 過程と思いフェルミオンの non-decoupling 効果

小林・益川模型の予言と CP 対称性の破れの検証

消えた反物質の謎

レプトン・セクターにおける CP 対称性の破れ