SGCライブラリ - 95

幾何学の量子化

変形量子化からのアプローチ

前田吉昭・佐古彰史　共著

2012年11月25日　初版発行

準備：古典的空間を記述するために

${C^{\infty}}$ 級多様体 ${M}$ が概複素多様体であるとは、 ${M}$ 上に次の性質をもつ滑らかなテンソル場 ${J}$ が存在するときをいう：

${M}$ の各点 ${p}$ において、 ${J}$ は ${(1,1)}$ 型テンソルである。
${M}$ の各点 ${p}$ において、 ${J_p: T_pM \to T_pM}$ は線形写像であり、 ${J_p^2 = -1}$ となる。

${C^{\infty}}$ 級多様体 ${M}$ がケーラー多様体であるとは、 ${M}$ 上に次の性質をもつ滑らかなテンソル場 ${J}$ と ${g}$ が存在するときをいう：

${J}$ は ${M}$ の概複素構造である。
${g}$ は ${M}$ のリーマン計量である。
${\nabla}$ を ${g}$ のリーマン接続とすると、 ${\nabla J = 0}$ を満たす。

${M}$ がケーラー多様体のときに、 ${\omega(X,Y) = g(JX,Y)}$ と置くと ${\omega}$ はシンプレクティック ${2}$ -形式を決める。

ケーラー多様体はシンプレクティック多様体の例になっている。

一般のケーラー空間の複素座標系 ${(z^1,\dots,z^n)}$ によるケーラー計量：

$g_{i\bar{j}} = \frac{\partial^2\Phi}{\partial z^i\partial\bar{z}^j}$

${\Phi(z,\bar{z})}$ ：ケーラーポテンシャル

変形量子化

ハミルトン系

${\mathbb{R}^{2n}}$ を ${2n}$ 次元実ユークリッド空間とし、その座標系を ${(x^1,\dots,x^n,\xi^1,\dots,\xi^n)}$ とする。

${\mathbb{R}^{2n}}$ 上の（標準的な）シンプレクティック形式：

$\omega = \sum_{j=1}^ndx^j \wedge d\xi^j$

ハミルトンベクトル場： ${X_H}$

${\omega\rfloor X_H = -dH}$

${H(x,\xi)}$ ：ハミルトン関数
${\omega\rfloor X_H = \omega(X_H,\cdot)}$ という ${1}$ 形式を表す。
${\omega}$ が非退化であることから、この式は ${X_H}$ を定義している。

ハミルトンベクトル場 ${X_H}$ の積分曲線が古典的な質点の軌跡を与える：

$\frac{d}{dt}(x,\xi) = -X_H(x,\xi)$

ポアソン代数

シンプレクティック多様体 ${(M,\omega)}$ の上の ${C^{\infty}}$ 級関数全体 ${C^{\infty}}$ を考える。

ポアソン括弧： ${\{f,g\} = X_fg}$

${f,g \in C^{\infty}(M)}$
${X_f}$ ： ${f \in C^{\infty}(M)}$ のハミルトンベクトル場

一般に代数 ${\mathcal{A}}$ に括弧 ${\{\,,\,\}: \mathcal{A} \times \mathcal{A} \to \mathcal{A}}$ が定義され、以下の性質をもっているときポアソン代数という：

${\{\,,\,\}: C^{\infty}(M) \times C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(M)}$ は双線形写像である。
反対称性： ${\{f,g\} = -\{g,f\}}$
ヤコビ恒等式： ${\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\} + \{h,\{f,g\}\} = 0}$
鎖則： ${\{f,g \cdot h\} = \{f,g\} \cdot h + g \cdot \{f,h\}}$

古典力学はポアソン代数 ${(C^{\infty}(M),\cdot,\{\,,\,\})}$ によって表されていると考える。

これを一般化して、抽象的なポアソン代数 ${(\mathcal{A},\cdot,\{\,,\,\})}$ を古典的な世界と考えたい。

変形量子化

${\nu}$ を形式変数としたポアソン代数 ${\mathcal{A}}$ の形式的冪級数の集合を ${\mathcal{A}[[\nu]]}$ で表す：

$f = \sum_{r=0}^{\infty}f_r\nu^r$
${f_r \in \mathcal{A}}$

${(\mathcal{A},\cdot,\{\,,\,\})}$ の変形量子化とは、 ${\mathcal{A}[[\nu]]}$ と、次の条件をみたす ${\mathcal{A}[[\nu]]}$ 上の積 ${\ast}$ の組 ${(\mathcal{A}[[\nu]],\ast)}$ のことである：

積は双線形、-双線形であり、結合律をみたす：
- ${f \ast (g \ast h) = (f \ast g) \ast h}$
- ${f,g,h \in \mathcal{A}[[\nu]]}$
に対し、と表すと、以下が成立する：
- $C_0(f,g) = f \cdot g$
- $C_1(f,g) = \frac{1}{2}\{f,g\}$