物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

量子力学から超対称性へ

SGCライブラリ - 96

量子力学から超対称性へ

超対称性のエッセンスを捉える

坂本眞人 著

2012年12月25日 初版発行

超対称性と一般的性質

最小超対称性関係

 {3} つのエルミート演算子  {H,\,Q,\,(-1)^F}

  •  {H}:ハミルトニアン
  •  {Q}:超電荷
  •  {H = Q^2}
  •  {(-1)^FQ = -Q(-1)^F}
  •  {((-1)^F)^2 = 1}

超対称性の基本的性質:

  • エネルギー固有値  {E} は非負( {E \ge 0}
  • 正エネルギー( {E \gt 0})固有状態は、 {(-1)^F} の固有値  {+1} {-1} をもつ状態  {\Psi_{E,+}} {\Psi_{E,-}} で対をなし、必ずエネルギーの縮退を起こす。
  • ゼロエネルギー( {E = 0})状態は必ずしも縮退するとは限らない。
  • ゼロエネルギー解  {\Psi_{E = 0}} は、 {Q\Psi_{E=0} = 0} を満たす。
  • ウィッテン指数: {\Delta_W \equiv \mathcal{N}_{E=0}^+ - \mathcal{N}_{E=0}^-} は位相不変量である。
    •  {\mathcal{N}_{E=0}^{\pm}} {(-1)^F} の固有値  {\pm 1} をもつゼロエネルギー解の数

 {N = 2} 超対称性代数

 {Q} {(-1)^F} の組み合わせを使って、 {2} つの超電荷を定義する:

  •  {Q_1 \equiv Q}
  •  {Q_2 \equiv -iQ(-1)^F}

 {N = 2} 超対称性代数(実超電荷による表現):

  •  {\{Q_i,Q_j\} = 2H\delta_{ij}}
  •  {[H,Q_i] = 0}
  •  {Q_i^{\dagger} = Q_i}

エルミート超電荷  {Q_i} の代わりに、複素超電荷  {\mathcal{Q}} を導入する:

  •  {\displaystyle \mathcal{Q} \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}(Q_1 + iQ_2)}
  •  {\displaystyle \mathcal{Q}^{\dagger} \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}(Q_1 - iQ_2)}

 {N = 2} 超対称性代数(複素超電荷による表現):

  •  {\{\mathcal{Q}^{\dagger},\mathcal{Q}\} = 2H}
  •  {\{\mathcal{Q},\mathcal{Q}\} = \{\mathcal{Q}^{\dagger},\mathcal{Q}^{\dagger}\} = 0}
  •  {[H,\mathcal{Q}] = [H,\mathcal{Q}^{\dagger}] = 0}

超対称量子力学 行列表現

厳密に解ける量子力学模型

対称性と保存量

超対称量子力学 ラグランジアン形式

超空間と超場形式