優雅な定理たち

${n}$ 次行列 ${A = (a_{ij}) \in \mathbb{C}^{n \times n}}$ は狭義優対角（ ${|a_{ii}| \gt \sum_{j \neq i}|a_{ij}|}$ ）であるとする。

$|a_{ii}| \gt R_i = \sum_{j \neq i}|a_{ij}|$
$m_i = |a_{ii}| - \sum_{j = i+1}^n|a_{ij}|\quad (1 \le i \le n - 1)$
$M_i = |a_{ii}| + \sum_{j = i+1}^n|a_{ij}|\quad (1 \le i \le n - 1)$
${m_n = M_n = |a_{nn}|}$

${r \gt 0}$ かつ

$|a_{ii}| \gt \frac{1}{r}|a_{i1}| + \sum_{j=2,j\neq i}^n|a_{ij}|\quad (1 \le i \le n)$

ならば、 ${n - 1}$ 元連立１次方程式

$a_{i1} + \sum_{j=2}^na_{ij}x_j = 0,\quad i = 2,3,\dots,n$

は一意解 ${x_2,\dots,x_n}$ をもち、 ${|x_i| \lt r}$ ${(2 \le i \le n)}$ をみたす。