物理ノート

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無限量子系の物理と数理

量子力学

SGCライブラリ - 98

無限量子系の物理と数理

小嶋泉・岡村和弥　共著

2013年4月25日　初版発行

量子論の代数的定式化　ミクロとマクロの共存と境界

{\mathcal{X}} が {C^{\ast}}-代数であるとは、次を満たすことを言う：

  • {\mathcal{X}} は複素数 {\mathcal{C}} を係数とする {^{\ast}}-代数である。
    • {{}^{\ast}: \mathcal{X} \ni X \mapsto X^{\ast} \in \mathcal{X}}
    • {(aX + bY)^{\ast} = \bar{a}X^{\ast} + \bar{b}Y^{\ast}}
    • {(XY)^{\ast} = Y^{\ast}X^{\ast}}
    • {X^{\ast\ast} := (X^{\ast})^{\ast} = X}
  • {\mathcal{X}} は次を満たすノルム {||\cdot||: \mathcal{X} \to \mathbb{R}_{\ge 0}} をもち、このノルムに関して完備である：
    • {||aX|| = |a|\,||X||}
    • {||X|| = 0 \,\Leftrightarrow\, X = 0}
    • {||X + Y|| \le ||X|| + ||Y||}
    • {||XY|| \le ||X||\,||Y||}
    • {||X^{\ast}|| = ||X||}
    • {||X^{\ast}X|| = ||X||^2}

{\omega} が {C^{\ast}}-代数 {\mathcal{X}} 上の状態であるとは、 {\omega: \mathcal{X} \to \mathbb{C}} であって次を満たすときを言う：

  • {\omega(aX + bY) = a\omega(X) + b\omega(Y)}
  • {\omega(X^{\ast}X) \ge 0}
  • {||\omega|| := \sup\{|\omega(X)| \,|\, X \in \mathcal{X},\,||X|| \le 1\} = 1}

状態とは、物理量代数の各元に応じて複素数値の出力を行う写像である。 特に、自己共役元に対しては実数値の出力を行う。

{\mathcal{H}} が Hilbert 空間であるとは次を満たすときを言う：

  • {\mathcal{H}} は複素数 {\mathbb{C}} 上の線形空間である。
    • {\mathcal{H} \times \mathbb{C} \ni (x,a) \mapsto xa \in \mathcal{H}}
  • {\mathcal{H}} には内積 {\langle\cdot|\cdot\rangle: \mathcal{H} \times \mathcal{H} \to \mathbb{C}} が定義される：
    • {\langle x|x\rangle \ge 0}
    • {\langle x|x\rangle = 0 \,\Leftrightarrow\, x = 0}
    • {\langle x|ya + zb\rangle = \langle x|y\rangle a + \langle x|z\rangle b}
    • {\overline{\langle x|y\rangle} = \langle y|x\rangle}

Riesz の定理

任意の {f \in \mathcal{H}^{\ast}} に対して、 {y \in \mathcal{H}} が存在して、 {f(x) = \langle y|x\rangle} が任意の {x \in \mathcal{H}} に対し成立する。

Hilbert 空間 {\mathcal{H}} の元 {x} を {|x\rangle}、 {\mathcal{H}} の双対空間 {\mathcal{H}^{\ast}} の元 {f} を {\langle f|} と表すと、内積は次のように定義される：

{\langle f|x\rangle := f(x)}

Riesz の定理から {\mathcal{H}^{\ast} \cong \mathcal{H}} であるため、任意の {y \in \mathcal{H}} から定義される {\mathcal{H}} 上の線形汎関数 {f_y(x) = \langle y|x\rangle}（ {y \in \mathcal{H}}）に対しては {\langle y| := \langle f_y|} と表す。

Hilbert 空間上の有界作用素

{\mathcal{H}} と {\mathcal{K}} を Hilbert 空間とする。

{\mathfrak{D}} を {\mathcal{H}} の部分空間とし、写像 {X: \mathfrak{D} \to \mathcal{K}} が任意の {x,y \in \mathfrak{D}} と {a,b \in \mathbb{C}} に対し以下を満たすとき、 {X} は {\mathcal{H}} から {\mathcal{K}} への線形作用素、単に作用素と呼ばれる。

{X(xa + yb) = (Xx)a + (Xy)b}

{\mathfrak{D} = \mathcal{H}} であって、任意の {x \in \mathcal{H}} に対し、 {||Xx|| \le M||x||} となる {M \ge 0} が存在するとき、 {X} を {\mathcal{H}} から {\mathcal{K}} への有界線型作用素、単に有界作用素と呼ぶ。

{\mathcal{H}} から {\mathcal{K}} への有界作用素全体を {\mathbf{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})} で表す。特に、 {\mathcal{H} = \mathcal{K}} のとき、 {\mathbf{B}(\mathcal{H}) := \mathbf{B}(\mathcal{H},\mathcal{H})} と表す。

Riesz の定理から、任意の {X \in \mathbf{B}(\mathcal{H})} に対しある {Y \in \mathbf{B}(\mathcal{H})} が一意に存在して、

{\langle x|Xy\rangle = \langle Yx|y\rangle}

が任意の {x,y \in \mathcal{H}} に対して成立する。

GNS 表現

{\pi: \mathcal{X} \to \mathbf{B}(\mathcal{H})} が {{}^{\ast}}-準同型写像であるとき、 {(\pi,\mathcal{H})} を {\mathcal{X}} の {{}^{\ast}}-表現と呼ぶ：

  • {\pi(aX = bY) = a\pi(X) + b\pi(Y)}
  • {\pi(XY) = \pi(X)\pi(Y)}
  • {\pi(X^{\ast}) = \pi(X)^{\ast}}
  • {\pi(1) = 1_{\mathcal{X}}}

Gel'fand–Naimark–Segal 構成定理

{\mathcal{X}} を {C^{\ast}}-代数、 {\omega} を {\mathcal{X}} 上の状態とする。

このとき、３つ組 {(\pi_{\omega},\mathcal{H}_{\omega},\Omega_{\omega})} が存在して

{\omega(X) = \langle\Omega_{\omega}|\pi_{\omega}(X)\Omega_{\omega}\rangle,\quad X \in \mathcal{X}}

が成り立つ。

{(\pi_{\omega},\mathcal{H}_{\omega})} は {\mathcal{X}} の巡回表現であり、 {\Omega_{\omega} \in \mathcal{H}_{\omega}} はその巡回ベクトルである。

この３つ組を GNS 表現といい、ユニタリー同値を除いて一意に定まる。

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