物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

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弦理論と行列模型

弦理論

SGCライブラリ - 104

弦理論と行列模型

弦理論の非摂動的定式化と新しい時空と物質の捉え方

土屋麻人　著

2014年3月10日　初版発行

非臨界次元の弦理論と行列模型

リューヴィル理論

{2} 次元の閉じた向き付け可能な多様体を考える。

  • 計量場 {g_{ab}(x)\,(a,b = 1,2)}
  • 中心電荷が {D} のスケール不変な物質場 {X^i(x_1,x_2)\,(i = 1,\dots, D)}
  • {2} 次元多様体の座標 {x = (x^1,x^2)}

物質場は弦の世界面から標的空間への写像とみなせる。

多様体の面積を {A} に固定した分配和：

{\displaystyle Z(A) = \int\frac{\mathcal{D}g}{\mathrm{vol}(\mathrm{Diff})}Z_M[g]\delta\left(\int d^2x\,\sqrt{g} - A\right)}

{\displaystyle Z_M[g] = \int\mathcal{D}Xe^{-\frac{1}{8\pi}\int d^2x\sqrt{g}g^{ab}\partial_aX^i\partial_bX^i}}

  • オイラー数 {\chi = 2 - 2h}
  • 多様体のハンドルの数 {h}
  • {2} 次元の diffeomorphism の空間の体積 {\mathrm{vol}(\mathrm{Diff})}

計量場と物質場の経路積分の測度：

  • {\displaystyle ||\delta g||^2 = \int d^2x\sqrt{g}g^{ab}g^{cd}\delta g_{ac}\delta g_{bd}}
  • {\displaystyle ||\delta X||^2 = \int d^2x\sqrt{g}\delta X^i\delta X^i}

コンフォーマルゲージで経路積分を実行する。

{g_{ab}(x) = \hat{g}_{ab}(\tau;x)e^{\phi(x)}}

  • コンフォーマル（リューヴィル）モード {\phi(x)}
  • モデュライ {\tau}
  • 背景計量場 {\hat{g}_{\mu\nu}(\tau;x)}

{\displaystyle Z(A) = \int d\tau\int\mathcal{D}_1\phi\Delta_{FP}[\hat{g}e^{\phi}]Z_M[\hat{g}e^{\phi}]\delta\left(\int d^2x\sqrt{\hat{g}}e^{\phi} - A\right)}

  • ゲージ固定に対する Faddeev–Popov の行列式 {\Delta_{FP}}

ラージ {N} 還元

行列模型における T 双対

非可換幾何と行列模型

超弦理論と行列模型