物理ノート

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ホログラフィー原理と量子エンタングルメント

量子力学

SGCライブラリ - 106

ホログラフィー原理と量子エンタングルメント

高柳匡　著

2014年4月25日　初版発行

エンタングルメント・エントロピーの基礎

純粋状態

物理状態は波動関数 {\Psi} で指定され、系全体に相当するヒルベルト空間 {\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}} に属すベクトル {|\Psi\rangle} として記述される。

  • シュレーディンガー方程式： {\displaystyle i\frac{\partial}{\partial t}|\Psi\rangle = H|\Psi\rangle}
  • 物理量： {\langle O\rangle = \langle\Psi|O|\Psi\rangle}

混合状態

ある統計平均として与えられる混合状態は密度行列 {\rho_{\mathrm{tot}}} で記述される。

  • 物理量： {\langle O\rangle = \mathrm{Tr}_{\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}}[O\cdot\rho_{\mathrm{tot}}]}
  • フォンノイマン・エントロピー： {S_{\mathrm{tot}} = -\mathrm{Tr}_{\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}}[\rho_{\mathrm{tot}}\log\rho_{\mathrm{tot}}]}

エンタングルメント・エントロピー

ヒルベルト空間 {\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}} を {\mathcal{H}_A} と {\mathcal{H}_B} の直積に分解できたとする：

{\mathcal{H}_{\mathrm{tot}} = \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B}

  • {A} に制限された密度行列： {\rho_A = \mathrm{Tr}_{\mathcal{H}_B}[\rho_{\mathrm{tot}}]}
  • {A} にのみに依存する物理量： {\langle O_A\rangle = \mathrm{Tr}_{\mathrm{tot}}[O_A\rho_{\mathrm{tot}}] = \mathrm{Tr}_{\mathcal{H}_A}[O_A\rho_A]}
  • エンタングルメント・エントロピー： {S_A = -\mathrm{Tr}_{\mathcal{H}_A}[\rho_A\log\rho_A]}

観測者が部分系 {B} を見えないと仮定すると {B} の情報が失われ、損失した情報量を {S_A} が見積もっていると解釈できる。

全体系が純粋状態であれば、任意の {A} の取り方に対して {S_A = S_B} が成り立つ。

  • 強劣可法性
    • {S_{A \cup B \cup C} + S_B \le S_{A \cup B} + S_{B \cup C}}
    • {S_A + S_B \le S_{A \cup C} + S_{B \cup C}}
  • 荒木・リープ不等式
    • {|S_A - S_B| \le S_{A \cup B}}
  • 劣可法性
    • {S_{A \cup B} \le S_A + S_B}

場の理論におけるエンタングルメント・エントロピーの計算

場の理論におけるエンタングルメント・エントロピーは、時間一定面の空間を {A} と {B} に分けることで自然に定義される。

レプリカ法：

{\displaystyle S_A = \lim_{n \to 1}\left[-\frac{\partial}{\partial n}\log(\mathrm{Tr}\,\rho_A^n)\right]}

{2} 次元の場の理論の分配関数 {Z} を考える。

{\displaystyle Z = \int\prod_{-\infty \lt x_0 \lt \infty}\prod_{x_1}[D\phi(x_0,x_1)]e^{-S[\phi(x_0,x_1)]}}

{\mathrm{Tr}\,\rho_A^n} は {n} 枚のシートを領域 {A} で張り合わせた {2} 次元面 {\Sigma_n} 上の分配関数とみなせる：

{\displaystyle \mathrm{Tr}\,\rho_A^n = (Z)^{-n}\int\prod_{(x_0,x_1) \in \Sigma_n}[D\phi(x_0,x_1)]e^{-S[\phi]}}

共形場理論のエンタングルメント・エントロピー

共形変換：時空の計量がスケール倍を除いて保たれる座標変換

{g_{\mu\nu}^{\prime} = \Lambda(x)g_{\mu\nu}(x)}

共形変換で不変な場の理論を共形場の理論と呼ぶ。

共形変換の生成子：

  • 並進： {P_{\mu} = -i\partial_{\mu}}
  • ローレンツ変換： {L_{\mu\nu} = i(x_{\mu}\partial_{\nu} - x_{\nu}\partial_{\mu})}
  • スケール変換： {D = -ix^{\nu}\partial_{\mu}}
  • 特殊共形変換： {K_{\mu} = -i(2x_{\mu}x^{\nu}\partial_{\nu} - x^2\partial_{\mu})}

演算子の交換関係：

  • {[D,P_{\mu}] = iP_{\mu}}
  • {[D,K_{\mu}] = -iK_{\mu}}
  • {[K_{\mu},P_{\nu}] = 2i(\eta_{\mu\nu}D - L_{\mu\nu})}
  • {[K_{\rho},L_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}K_{\nu} - \eta_{\rho\nu}K_{\mu})}
  • {[P_{\rho},L_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_{\nu} - \eta_{\rho\nu}P_{\mu})}
  • {[L_{\mu\nu},L_{\rho\sigma}] = i(\eta_{\nu\rho}L_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}L_{\nu\rho} - \eta_{\mu\sigma}L_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho}L_{\mu\sigma})}

ある演算子が（ {x^{\mu} = 0} で）スケール変換 {D} の固有状態になっている場合、その {-iD} の固有値を共形次元と呼び {\Delta} と書く。

  • {P_{\mu}} の作用は {\Delta} を {1} 増やす。
  • {K_{\mu}} の作用は {\Delta} を {1} 減らす。
  • {K_{\mu}} を作用すると消える場をプライマリー演算子と呼ぶ。
  • プライマリー演算子に {P_{\mu}} などを掛けて生成される場をディセンダントと呼ぶ。

無限小共形変換のプライマリー演算子 {\mathcal{O}(x)} への作用：

  • {P_{\mu}\cdot\mathcal{O}(x) = -\partial_{\mu}\mathcal{O}(x)}
  • {L_{\mu\nu}\cdot\mathcal{O}(x) = i(x_{\mu}\partial_{\nu} - x_{\nu}\partial_{\mu})\mathcal{O}(x) + S_{\mu\nu}\mathcal{O}(x)}
  • {D\cdot\mathcal{O}(x) = -ix^{\mu}\partial_{\mu}\mathcal{O}(x) - i\Delta\mathcal{O}(x)}
  • {K_{\mu}\cdot\mathcal{O}(x) = -i(2x_{\mu}x^{\nu}\partial_{\nu} - x^2\partial_{\mu})\mathcal{O}(x) - (2i\Delta x_{\mu} + x^{\nu}S_{\mu\nu})\mathcal{O}(x)}
  • {S_{\mu\nu}}：演算子の内部スピン

2 次元共形場理論

ブラックホールとホログラフィー原理

AdS/CFT 対応

ホログラフィックなエンタングルメント・エントロピーの基礎

ホログラフィックなエンタングルメント・エントロピーの一般化

有限温度系・熱化現象へのホログラフィックなエンタングルメント・エントロピーの応用

強結合量子系への応用