物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

パーコレーション理論講義

統計力学

SGCライブラリ - 107

パーコレーション理論講義

基礎からSLE理論の入口まで

樋口保成　著

2014年5月25日　初版発行

パーコレーション：基礎編

パーコレーション：正方格子状の水路系

無限に広がった碁盤： ${\mathbb{Z}^2 := \{(x^1,x^2);\,x^1,\,x^2}$ は整数 ${\}}$
${\mathbb{Z}^2}$ のボンドの全体： ${\mathbb{E}^2 = \{\{x,y\};\,x,y \in \mathbb{Z}^2,\,|x - y| = 1\}}$
配置空間： ${\Omega = \{0,1\}^{\mathbb{E}^2}}$
配置：
- ボンド ${b}$ は ${\omega(b) = 1}$ ならば開いている
- ボンド ${b}$ は ${\omega(b) = 0}$ ならば詰まっている
${\Omega}$ 上の直積測度： ${P_p}$

${P_p(\omega(b_i) = a_i,\,1 \le i \le n) = p^{a_1 + \cdots + a_n}(1 - p)^{n - a_1 - \cdots - a_n}}$

路 ${\{x_1,\dots,x_k\}}$ ：任意の ${1 \le i \le k - 1}$ に対して ${b_i = \{x_i,x_{i+1}\} \in \mathbb{E}^2}$

${V}$ の任意の２点 ${x,\,y}$ に対して ${V}$ 内の路 ${\{x_1,\dots,x_k\}}$ がとれて ${x_1 = x,\,x_k = y}$ を満たすとき、 ${V \subset \mathbb{Z}^2}$ は連結であるという。

任意の ${1 \le i \le k - 1}$ に対して ${\omega(b_i) = 1}$ を満たすとき、路 ${\{x_1,\dots,x_k\}}$ は配置 ${\omega}$ の開路であるという。

${V}$ の任意の２点 ${x,\,y}$ に対して ${V}$ 内に ${\omega}$ の開路 ${\{x_1,\dots,x_k\}}$ がとれて ${x_1 = x,\,x_k = y}$ を満たすとき、 ${V \subset \mathbb{Z}^2}$ は ${\omega}$ において開路連結であるという。

配置 ${\omega}$ に対して極大な開路連結集合を開クラスターと呼ぶ。

${x \in \mathbb{Z}^2}$ に対して ${x}$ を含む ${\omega}$ の開クラスター： ${C_x(\omega)}$
${x}$ が原点 ${O}$ のとき ${C_0(\omega)}$

パーコレーション確率：原点が無限開クラスターに含まれる確率

${\theta(p) = P_p(\#C_0 = \infty)}$

ボンド問題：パーコレーション確率が正になることがあるか？

臨界確率

$p_c^{\mathrm{bond}} = \inf\{p \gt 0;\,\theta(p) \gt 0\} = \frac{1}{2}$

応用編