物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

ゲージ理論の基礎数理

SGCライブラリ - 114

ゲージ理論の基礎数理

物理学的背景からトポロジー、微分幾何、関数解析まで

橋本義武 著

2015年2月10日 初版発行

トポロジーから電磁気へ

擬内積  {g: V \times V \to \mathbb{R}}

  • 実ベクトル空間  {V}
  • 対称: {g(u,v) = g(v,u)}
  • 非退化:任意の  {v \in V} に対して  {g(u,v) = 0} となるのは  {u = 0} に限る。
  •  {g(u,u) \gt 0} をみたす擬内積が内積である。

 {\displaystyle g(u,v) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ng_{ij}u_iv_j}

  •  {V} の基底  {e_1,\dots,e_n}
  •  {n} 次非退化対称行列  {(g_{ij})_{i,j \in \{1,\dots,n\}}}
  •  {\displaystyle u = \sum_{i=1}^nu_ie_i}
  •  {\displaystyle v = \sum_{i=1}^nv_je_j}

 {n} 次元実ベクトル空間  {V} 上の擬内積  {g} に対し、 {p \in \{0,1,\dots,n\}} および  {V} の基底  {e_1,\dots,e_n} が存在して、

  •  {g(e_i,e_j) = -1\quad (i = j \le p)}
  •  {g(e_i,e_j) = 1\quad (i = j \gt p)}
  •  {g(e_i,e_j) = 0\quad (i \neq j)}

となる。

 {2} 階共変対称テンソル場

 {g = g_{ij}dx^i\cdot dx^j}

  • 擬リーマン計量: {(g_{ij}(p))_{i,j \in \{1,\dots,n\}}} が各点  {p \in U} で非退化対称行列
  • リーマン計量: {(g_{ij}(p))} が正定値
  • ローレンツ計量:正定値、負定値でない擬リーマン計量

 {k} 次微分形式の空間  {\Omega^k(U)} 上の擬内積  {\langle,\rangle}

  •  {\{e_{i(1)} \wedge \cdots \wedge e_{i(k)} \,|\, i(1) \lt \cdots \lt i(k)\}} はたがいに直交する。
  •  {\displaystyle \langle e_{i(1)} \wedge \cdots \wedge e_{i(k)},e_{i(1)} \wedge \cdots \wedge e_{i(k)}\rangle = \prod_{a=1}^k\langle e_{i(a)},e_{i(a)}\rangle}

スター作用素  {\ast: \Omega^k(U) \to \Omega^{n - k}(U)}

  •  {\alpha \wedge \ast\beta = \langle\alpha,\beta\rangle\omega_g}
  •  {\alpha,\beta \in \Omega^k(U)}
  • 体積形式  {\omega_g = |\det(g_{ij})|^{1 / 2}dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n}

ミンコフスキー空間:

  •  {M = \mathbb{R}^{n+1}}
  • 座標系  {\varphi = (x^0,\dots,x^n)}
  • 擬リーマン計量  {g_M = dx^0\cdots dx^0 - dx^0\cdots dx^i = \eta_{\mu\nu}dx^{\mu}\cdots dx^{\nu}}
    •  {\eta_{\mu\nu} = 1\quad (\mu = \nu = 0)}
    •  {\eta_{\mu\nu} = -1\quad (\mu = \nu \ge 1)}
    •  {\eta_{\mu\nu} = 0\quad (\mu \neq \nu)}

スピンから量子力学へ

確率分布  {(p_i)_{i \in I}} のエントロピー:

 {\displaystyle S = -\sum_{i \in I}p_i\log p_i}

  • 確率の保存: {\displaystyle \sum_{i \in I}p_i = 1}
  • エネルギー保存則: {\displaystyle \sum_{i \in I}p_iE_i = U}
  • 状態  {i \in I} のエネルギー  {E_i}

カノニカル分布:上の条件の下でエントロピー  {S} が最大になるような確率分布

  •  {\displaystyle p_i = \frac{1}{Z}e^{-\beta E_i}}
  • 分配関数  {\displaystyle Z = \sum_{i \in I}e^{-\beta E_i}}
  •  {\displaystyle U = -\frac{\partial}{\partial\beta}\log Z}

 {\displaystyle Z(\beta) = \sum_{i \in I}\langle i|e^{-\beta\mathcal{H}}|i\rangle = \mathrm{tr}\,e^{-\beta\mathcal{H}}}

  • 正規直交基底  {(|i\rangle)_{i \in I}} の張るエルミート・ベクトル空間  {\mathcal{S}}
  • エルミート作用素  {\mathcal{H}: \mathcal{S} \to \mathcal{S}}
  •  {\mathcal{H}|i\rangle = E_i|i\rangle}
  •  {(\partial_{\beta} + \mathcal{H})e^{-\beta\mathcal{H}}|i\rangle = 0}
  •  {\lim_{\beta \to 0}e^{-\beta\mathcal{H}}|i\rangle = |i\rangle}
  •  {\mathcal{H}} の熱核: {(\langle i|e^{-\beta\mathcal{H}}|j\rangle)_{i,j \in I}}

ファイバー束と管状近傍

アフィン接続とリーマン多様体

コンパクト作用素とフレドホルム作用素

ソボレフ空間

楕円型作用素と熱核

モース理論と超対称性

特性類

ディラック作用素