物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

ループ量子重力理論への招待

重力理論

SGCライブラリ - 115

ループ量子重力理論への招待

入門から新たな進展に向けて

玉置孝至　著

2015年3月25日　初版発行

一般相対性理論とその問題点

一般相対性理論：

$S = \frac{1}{16\pi G}\int R\sqrt{-g}d^4x + S_m$

${g}$ ：計量 ${g_{\mu\nu}}$ の行列式
${R = g^{\alpha\gamma}R_{\alpha\gamma}}$ ：スカラー曲率
${R_{\alpha\gamma} = R^{\mu}{}_{\alpha\mu\gamma}}$ ：Ricci テンソル
${R^{\mu}{}_{\alpha\beta\gamma}}$ ：曲率テンソル
${S_m}$ ：物質場の作用

Einstein 方程式：

$R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha\beta}R + \Lambda g_{\alpha\beta} = 8\pi GT_{\alpha\beta}$

${\Lambda}$ ：宇宙項
観測的に必要とされている宇宙項は ${\Lambda/(8\pi G) \simeq 10^{-47}\,\mathrm{GeV}^4}$ 程度。

ブラックホール熱力学

Schwarzschild 解：

$ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{r}\right)dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2d\Omega^2$

${M}$ ：中心物体の質量
事象の地平面： ${g_{00} = g_{11}^{-1} = 0}$ の面
事象の地平面を持つ物体をブラックホールと呼ぶ。

Reissner–Nordström 解：

$ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{r} + \frac{GQ^2}{r^2}\right)dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{r} + \frac{GQ^2}{r^2}\right)^{-1}dr^2 + r^2d\Omega^2$

${Q}$ ：電荷
事象の地平面を持つ場合は、静的球対称で電磁場の入ったブラックホール解とみなせる。

事象の地平面の表面重力：

$\kappa = \lim_{r \to r_{\mathrm{H}}}\frac{\partial_1g_{00}}{2\sqrt{g_{00}g_{11}}}$

${r_{\mathrm{H}}}$ ：地平面の半径
Schwarzschild 解： $\kappa = \frac{1}{4GM}$
Reissner–Nordström 解： $\kappa = \frac{\sqrt{(GM)^2 - GQ^2}}{2(GM)^2 - GQ^2 + 2GM\sqrt{(GM)^2 - GQ^2}}$

ブラックホール熱力学第零法則

定常なブラックホールにおいて ${\kappa}$ は一定である。

${\nabla^{\mu}(\chi^{\nu}\chi_{\nu}) = -2\kappa\chi^{\mu}}$

Killing 場 ${\chi^{\mu}}$

ブラックホール熱力学第一法則

定常なブラックホールの微小変化を考えると以下が成立する：

$dM = \frac{\kappa}{8\pi G}dA + \Omega dJ + \Phi dQ$

${\Omega}$ ：ブラックホールの角速度
${J}$ ：ブラックホールの角運動量
${\Phi}$ ：ブラックホールの電磁ポテンシャル

ブラックホール熱力学第二法則

地平面面積 ${A}$ は増大する。

ブラックホールのエントロピー： $S_{\mathrm{BH}} = \frac{A}{4G}$

ブラックホール熱力学第三法則

有限の物理過程で表面重力 ${\kappa}$ を零にできない。

	熱力学	ブラックホール
第零法則	熱平衡で ${T}$ は一定	定常で ${\kappa}$ は一定
第一法則	${dE = TdS - PdV}$	${dM = \frac{\kappa}{8\pi G}dA + \cdots}$
第二法則	${S}$ 増大則	${A}$ 増大則
第三法則	${T}$ を零にできない	${\kappa}$ を零にできない

重力の正準形式と Wheeler–DeWitt 方程式

時空を ${(3 + 1)}$ 分解する：

${ds^2 = -N^2dt^2 + h_{ab}(dy^a + N^adt)(dy^b + N^bdt)}$

${a,b = 1,2,3}$ ：実空間の添字
${N}$ ：ラプラス関数
${N^a}$ ：シフトベクトル
${n^{\mu}}$ ：空間超曲面に垂直な単位ベクトル

$S = \frac{1}{16\pi G}\int dt\int (R^{(3)} + K^{ab}K_{ab} - K^2)N\sqrt{h}d^3y$

${h}$ ： ${h_{ab}}$ の行列式
${R^{(3)}}$ ： ${3}$ 次元スカラー曲率
${K_{ab} := \frac{1}{2}\mathcal{L}_nh_{ab}}$ ：外部曲率
${\mathcal{L}_n}$ ： ${n^{\mu}}$ 方向への Lie 微分
${K := K_{ab}h^{ab}}$

共役運動量：

$p^{ab} := \frac{\partial L}{\partial\dot{h}_{ab}} = \frac{\sqrt{h}}{16\pi G}(K^{ab} - Kh^{ab})$

${t^{\mu} := Nn^{\mu} + N^{\mu}}$ （時間方向）
${\dot{h}_{ab} := \mathcal{L}_th_{ab}}$

Hamiltonian 密度：

$H_G := \dot{h}_{ab}p^{ab} - L = -\frac{1}{16\pi G}(HN + H_aN^a)$

$\sqrt{h}R^{(3)} - \frac{1}{\sqrt{h}}\left[p^{ab}p_{ab} - \frac{p^2}{2}\right]$
$H_a := 2\sqrt{h}\tilde{\nabla}_b(K_a^b - K\delta_a^b)$
Hamiltonian 拘束条件： ${H = 0}$
運動量拘束条件： ${H_a = 0}$

量子化した場合には、量子状態 ${\Psi}$ に対する拘束条件が課される：

${\hat{H}\Psi = 0}$ ：Wheeler–DeWitt (WDW) 方程式
${\hat{H}_a\Psi = 0}$

ループ量子重力理論の定式化

ループ量子宇宙論 I：基本編

ループ量子宇宙論 II：応用編

特異点回避周辺

ブラックホールエントロピー

その他の重要な話題