物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

重点解説　ハミルトン力学系

力学系

SGCライブラリ - 130

重点解説　ハミルトン力学系

可積分系と KAM 理論を中心に

柴山允瑠　著

2016年12月25日　初版発行

ラグランジュ系

オイラー–ラグランジュ方程式

${\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}\left(\mathbf{q},\frac{d\mathbf{q}}{dt},t\right)\right) - \frac{\partial L}{\partial q_k}\left(\mathbf{q},\frac{d\mathbf{q}}{dt},t\right) = 0}$

ラグランジアン ${L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)}$
${\mathbf{q} = (q_1,\dots,q_n)}$
${\dot{\mathbf{q}} = (\dot{q}_1,\dots,\dot{q}_n)}$

ハミルトン系

ハミルトンの正準方程式

${\frac{dq_k}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_k}(\mathbf{p},\mathbf{q},t)}$

${\frac{dp_k}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q_k}(\mathbf{p},\mathbf{q},t)}$

相空間 ${\mathcal{D}}$ : ${\mathbb{R}^{2n}}$ の開集合
ハミルトニアン ${H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)}$ : ${\mathcal{D} \times \mathbb{R}}$ の実数値関数
${\mathbf{p} = (p_1,\dots,p_n)}$
${\mathbf{q} = (q_1,\dots,q_n)}$

シンプレクティック写像の力学系

第一積分と可積分系

近可積分系の非可積分性

KAM 定理

KAM 定理の応用

KAM 定理の発展