SGCライブラリ - 131

超対称性の破れ

場の理論から弦理論まで

大河内豊　著

2017年1月25日　初版発行

超対称ラグランジアンの構成

超対称性：時空の対称性をフェルミオニックな生成元に拡大した対称性

時空の座標をグラスマン座標 ${(\theta,\bar{\theta})}$ にまで拡張する。

（ ${\mathcal{N} = 1}$ ）超対称性代数

${\{Q_{\alpha},\bar{Q}_{\dot{\beta}}\} = 2\sigma^{\mu}_{\alpha\dot{\beta}}P_{\mu}}$
${\{Q_{\alpha},Q_{\beta}\} = \{\bar{Q}_{\dot{\alpha}},\bar{Q}_{\dot{\beta}}\} = 0}$
${[Q_{\alpha},P_{\mu}] = [\bar{Q}_{\dot{\beta}},P_{\mu}] = 0}$

超対称性代数の既約表現を考える。

カイラル超場

${\bar{D}_{\dot{\alpha}}\Phi = 0}$ を満たす超場

${D_{\alpha} = \frac{\partial}{\partial\theta^{\alpha}} + i\sigma^{\mu}_{\alpha\dot{\beta}}\bar{\theta}^{\dot{\beta}}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}}$
${\bar{D}_{\dot{\alpha}} = - \frac{\partial}{\partial\bar{\theta}^{\dot{\alpha}}} - i\theta^{\beta}\sigma^{\mu}_{\beta\dot{\alpha}}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}}$

${y^{\mu} = x^{\mu} + i\theta\sigma^{\mu}\sigma^{\mu}\bar{\theta}}$

${\Phi(y,\theta) = \phi(y) + \sqrt{2}\theta\psi(y) + \theta\theta F(y)}$

超対称性変換で不変なラグランジアン

${\int d^2\theta\,W(\Phi) + \int d^2\bar{\theta}\,\bar{W(\Phi)}}$
${\int d^4\theta\,K(\Phi^i,\Phi^{j\dagger})}$

ベクトル超場

${V(x,\theta,\bar{\theta}) = V^{\dagger}(x,\theta,\bar{\theta})}$ を満たす超場

${V_{\mathrm{WZ}} = -\theta\sigma^{\mu}\bar{\theta}A_{\mu} + i(\theta\theta)\bar{\theta}\bar{\lambda} + \frac{1}{2}(\theta\theta)(\bar{\theta}\bar{\theta})D}$

場の強さ ${W_{\alpha}}$ はカイラル超場（ ${\bar{D}_{\dot{\alpha}}W_{\beta} = 0}$ ）

${W_{\alpha} = -\frac{1}{4}(\bar{D}\bar{D})D_{\alpha}V(x,\theta,\bar{\theta})}$
${\bar{W}_{\dot{\alpha}} = -\frac{1}{4}(DD)\bar{D}_{\dot{\alpha}}V(x,\theta,\bar{\theta})}$

超対称変換で不変なラグランジアン

${\frac{1}{8\pi C(G)}\mathrm{Im}\left[\tau\int d^2\theta\,\mathrm{Tr}\,W^{\alpha}W_{\alpha}\right]}$

超対称性を持つQCD

${SU(N_c)}$ ゲージ対称性
フレーバー数 ${N_f}$
右巻きクォークを表すカイラル超場 ${Q_{\alpha}{}^i: (\mathbf{N}_c;\mathbf{N}_f,\mathbf{1})}$
左巻きクォークを表すカイラル超場 ${\tilde{Q}_{\tilde{i}}{}^{\alpha}: (\bar{\mathbf{N}}_c;\mathbf{1},\bar{\mathbf{N}_f})}$
メソン ${M_{\tilde{i}}{}^j = \tilde{Q}_{\tilde{i}}{}^{\alpha}Q_{\alpha}{}^j: (\mathbf{1};\mathbf{N}_f\bar{N}_f)}$

ゲージ不変な超対称性を保つラグランジアン

${\mathcal{L} = \mathrm{tr}_{N_f}\int d^4\theta\left(Q^{\dagger}e^VQ + \tilde{Q}e^{-V}\tilde{Q}^{\dagger}\right) + \frac{1}{8\pi}\mathrm{Im}\left[\tau\int d^2\theta W^{a\alpha}W_{\alpha}^a\right] + \int d^2\theta W(Q,\tilde{Q}) + \mathrm{h.c.}}$

${\mathcal{N} = 2}$ 超対称性

超対称電荷：

${Q_{\alpha} = \frac{\partial}{\partial\theta^{\alpha}} - i(\sigma^{\mu}\bar{\theta})_{\alpha}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}}$
${\bar{Q}_{\dot{\alpha}} = -\frac{\partial}{\partial\bar{\theta}^{\dot{\alpha}}} + i(\theta\sigma^{\mu})_{\dot{\alpha}}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}}$
${\tilde{Q}_{\alpha} = \frac{\partial}{\partial\tilde{\theta}^{\alpha}} - i(\sigma^{\mu}\bar{\tilde{\theta}})_{\alpha}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}}$
${\bar{\tilde{Q}}_{\dot{\alpha}} = -\frac{\partial}{\partial\bar{\tilde{\theta}}^{\dot{\alpha}}} + i(\tilde{\theta}\sigma^{\mu})_{\dot{\alpha}}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}}$

微分演算子 ${D^a = (D,\tilde{D}),\,\bar{D}^a = (\bar{D},\bar{\tilde{D}})}$

${\{\tilde{D}_{\alpha},\tilde{Q}_{\beta}\} = \{\tilde{D}_{\alpha},\bar{\tilde{Q}}_{\dot{\beta}}\} = \{\tilde{D}_{\alpha},\tilde{D}_{\beta}\} = \{\bar{\tilde{D}}_{\dot{\alpha}},\bar{\tilde{D}}_{\dot{\beta}}\} = 0}$
${\{\tilde{D}_{\alpha},\bar{\tilde{D}}_{\dot{\alpha}}\} = -2i\sigma^{\mu}{}_{\alpha\dot{\alpha}}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}}$

${\mathcal{N} = 2}$ のカイラル超場 ${\mathcal{A}}$

${\bar{D}_{\dot{\alpha}}\mathcal{A} = 0}$
${\bar{\tilde{D}}_{\dot{\alpha}}\mathcal{A} = 0}$
${(D^a)^{\alpha}(D^b)_{\alpha}\mathcal{A} = (\bar{D}^a)_{\dot{\alpha}}(\bar{D}^b)^{\dot{\alpha}}\mathcal{A}^{\dagger}}$

${\mathcal{A}(\tilde{y},\theta,\tilde{\theta}) = \Phi(\tilde{y},\theta) + i\sqrt{2}\tilde{\theta}W(\tilde{y},\theta) + \tilde{\theta}\tilde{\theta}G(\tilde{y},\theta)}$

${\mathcal{N} = 2}$ ${U(1)}$ ゲージ理論のラグランジアン：

$\mathcal{L} = \frac{1}{4\pi}\mathrm{Im}\left[\int d^2\theta d^2\tilde{\theta}\,\mathcal{F}(\mathcal{A})\right]$

超対称性理論の性質

非繰り込み定理

超対称ゲージ理論の非摂動的ダイナミクス

SQCD

超対称性の自発的破れ

ポロニーモデル

オラファティモデル

ダイナミカルな超対称性の破れ

アフレック・ダイン・サイバーグモデル

井沢・柳田・イントリゲータ・トーマスモデル

イントリゲータ・サイバーグ・シィモデル

ゲージ伝達機構

北野・大栗・大河内モデル

物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

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準安定真空の崩壊

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ブレーン配位と超対称性の破れ

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