物理ノート

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経路積分と量子解析

量子力学

SGCライブラリ - 137

経路積分と量子解析

量子古典対応から量子現象に迫る

鈴木増雄　著

2017年11月25日　初版発行

古典力学から量子力学へ

時間反転対称性を破る自然法則の変分原理を見出したい。

{\displaystyle S = \int_{t_0}^{t_1}f(x(t),\dot{x}(t),t)dt}

  • 数学的なラグランジアン {\mathcal{L}^{(\mathrm{math})}(t)}
  • 物理的なラグランジアン {\mathcal{L}^{(\mathrm{phys})}(t)}

すべての {x(t),\,\dot{x}(t),\,t} に対し

{\displaystyle \int_{t_0}^{t_1}f^{(\mathrm{math})}(x(t),\dot{x}(t),t;t_0,t_1)dt = \int_{t_0}^{t_1}f^{(\mathrm{phys})}(x(t),\dot{x}(t),t)dt}

が成り立ち、 {f^{(\mathrm{math})}} と {f^{(\mathrm{phys})}} が異なることがあり得る。

粘性抵抗（摩擦力）のある系

典型的な散逸ダイナミクスを記述する方程式：

{\displaystyle m\ddot{x}(t) + \zeta\dot{x}(t) = F(x(t))}

{\displaystyle F(x) = -\frac{dV(x)}{dx}}

  • {m}：粒子の質量
  • {x(t)}：時刻 {t} における空間座標
  • {\zeta}：粘性係数
  • {F(x(t))}：粒子に働く外力（保存力）

散逸のない系のラグランジアン：

{\mathcal{L}_{\mathrm{dyn}}(t) \equiv T(\dot{x}(t)) - V(x(t))}

散逸系の物理的ラグランジアン

オイラー・ラグランジュ方程式に非保存力の効果を加える。

{\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\frac{d\mathcal{L}}{d\dot{x}(t)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x(t)} = \frac{\partial\varPhi(t)}{\partial\dot{x}(t)}}

{\displaystyle\varPhi(t) = \frac{1}{2}\zeta\dot{x}(t)^2}

散逸エネルギー関数：

{\displaystyle W_{\mathrm{diss}}^{(0)}(t) = -\int_0^t\varPhi(s)ds = -\frac{1}{2}\zeta\int_0^t\dot{x}(s)^2ds}

物理的な散逸ラグランジアン：

{\mathcal{L}_{\mathrm{diss}}^{(\mathrm{phys})}(t) = \mathcal{L}_{\mathrm{dyn}}(t) + W_{\mathrm{diss}}(t)}

{W_{\mathrm{diss}}(t) = W_{\mathrm{diss}}^{(0)}(t) + R_{\mathrm{diss}}(t)}

無限に高次の多重積分を付け加えて、オイラー・ラグランジュ方程式

{g(t)(m\ddot{x}(t) + \zeta\dot{x}(t) - F(x(t))) = 0}

を導くように {R_{\mathrm{diss}}(t)} を決める。

{\displaystyle W_{\mathrm{diss}}(t) = \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{\zeta}{m}\right)^n\int_0^tdt_1\int_0^{t_1}dt_2\cdots\int_0^{t_{n-1}}\mathcal{L}_{\mathrm{dyn}}(t_n)dt_n}

{\displaystyle g(t) = \exp\left(\frac{\zeta}{m}(t - \tau)\right)}

散逸系の数学的ラグランジアン

{\displaystyle\int_0^{\tau}\mathcal{L}_{\mathrm{diss}}^{(\mathrm{math})}(t)dt = \int_0^{\tau}\mathcal{L}_{\mathrm{diss}}^{(\mathrm{phys})}(t)dt}

{\mathcal{L}_{\mathrm{diss}}^{(\mathrm{math})}(t) = e^{(t - \tau)\zeta/m}\mathcal{L}_{\mathrm{dyn}}(t) = e^{(t - \tau)\zeta/m}(T(\dot{x}(t)) - V(x(t)))}

経路積分量子化：

{\displaystyle Z(\tau,0) = \int_{\mathrm{ini}}^{\mathrm{fin}}\exp\left(\frac{i}{\hbar}\int_0^{\tau}\mathcal{L}_{\mathrm{diss}}^{(\mathrm{math})}(t)dt\right)D[x(t)]}

量子古典対応

ハミルトニアン {\mathscr{H}} で記述される量子力学的な系の状態 {|\varPsi(t)\rangle} の時間発展：

{|\varPsi(t)\rangle = e^{\frac{t}{i\hbar}\mathscr{H}}|\varPsi(0)\rangle}

  • 遷移行列要素： {T_{\alpha\alpha^{\prime}}(x) \equiv \langle\alpha|\exp(x\mathscr{H})|\alpha^{\prime}\rangle}

量子古典対応： {\mathscr{H}} を対角化しないで {T_{\alpha\alpha^{\prime}}(x)} を求める処方

{\displaystyle T_{\alpha\alpha^{\prime}}(x) = \langle\alpha|(e^{\frac{x}{n}\mathscr{H}})^n|\alpha^{\prime}\rangle = \sum_{\alpha_1}\sum_{\alpha_2}\cdots\sum_{\alpha_{n-1}}T_{\alpha\alpha_1}\left(\frac{x}{n}\right)T_{\alpha_1\alpha_2}\left(\frac{x}{n}\right)\cdots T_{\alpha_{n-1}\alpha^{\prime}}\left(\frac{x}{n}\right)}

{\frac{x}{n}\mathscr{H}} の大きさが十分小さくなるくらい {n} を大きくとれば、 {T_{\alpha_j\alpha_{j+1}}(\frac{x}{n})} を精度良く求めることが可能。

トロッター公式

{\displaystyle e^{x(A_1 + A_2 + \cdots + A_r)} = \lim_{n \to \infty}\left(e^{\frac{x}{n}A_1}e^{\frac{x}{n}A_2}\cdots e^{\frac{x}{n}A_r}\right)^n}

{T(\frac{x}{n})} にトロッター公式を適用することで、 {d} 次元量子系が {(d + 1)} 次元古典系に変換される：ST 変換（鈴木・トロッター変換）

手順の分離と指数積公式

非可換な演算子に対して、指数関数の公式 {e^{x + y} = e^xe^y} を生かしながら変形し、最後に非可換性を考慮する：手順の分離

対称化操作

{\displaystyle S(A^pB^q) = \frac{p!q!}{(p + q)!}\sum_{\mathrm{Permu}}^{\mathrm{all}}\mathrm{Permu}(A^pB^q)}

  • {\mathrm{Permu}}： {A} と {B} の順序を可能な限り入れ替える操作
  • {e^{A_1 + A_2 + \cdots + A_r} = S(e^{A_1}e^{A_2}\cdots e^{A_r})}

順序付け操作

指数演算子： {e^{x\mathscr{H}} \equiv e^{x(A_1 + A_2 + \cdots + A_r)}}

指数演算子の {m} 次近似式 {F_m(x)}

  • {x = x_1 + x_2 + \cdots + x_s}
  • {F_m(x) = G_1(x_1)G_2(x_2)\cdots G_s(x_s)}
  • {\displaystyle G_j(x_j) = \exp\left(\sum_{k=1}^{\infty}x_j^kR_{jk}\right)}
  • {R_{jk}}： {\{A_j\}} で構成される {k} 次の演算子
  • {R_{j1} = \mathscr{H}}

{\displaystyle F_m(x) = P\exp\left(\sum_{j=1}^s\sum_{k=1}^{\infty}x_j^kR_{jk}\right) = P\exp(xY_1 + x^2Y_2 + \cdots + x^nY_n + \cdots)}

  • {\displaystyle Y_k = \sum_{j=1}^sp_j^kR_{jk}}
  • {\displaystyle p_j = \frac{x_j}{x}}

順序付け操作：

$$ \displaystyle P(R_{jk}R_{lm}) = \begin{cases}R_{jk}R_{lm}\cdots & (j \lt l) \\ R_{lm}R_{jk}\cdots & (l \lt j)\end{cases} $$

$$ \displaystyle \begin{align} F_m(x) &= \sum_{n_1,n_2,n_3\cdots}\frac{x^{n_1 + 2n_2 + 3n_3 + \cdots}}{n_1!n_2!n_3!\cdots}SP(Y_1^{n_1}Y_2^{n_2}Y_3^{n_3}\cdots) \\ &= e^{x\mathscr{H}} + \sideset{}{'}\sum_{n_1,n_2,n_3\cdots}\frac{x^{n_1 + 2n_2 + 3n_3 + \cdots}}{n_1!n_2!n_3!\cdots}SP(Y_1^{n_1}Y_2^{n_2}Y_3^{n_3}\cdots) \end{align} $$

{\sum^{\prime}} は {n_2 = n_3 = \cdots = 0} の場合を除く和を表す。

量子解析

熱場ダイナミクスの定式化と非平衡統計物理への応用

非平衡統計力学のカノニカル理論

緩和現象のカノニカル理論

秩序生成のカノニカル理論

指数的時間のスケーリング理論

物理系の変換・対応・等価性の効用

トポロジー変化法と臨界現象の物理トモグラフィー

さらなる研究に向けて　まとめと展望