SGCライブラリ - 142

物性物理のための場の理論・グリーン関数

量子多体系をどう解くか？

小形正男　著

2018年6月25日　初版発行

第二量子化

多体問題のシュレーディンガー方程式

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi_{\mathrm{AS}}(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\dots,\mathbf{r}_N;t) = \hat{H}\Psi_{\mathrm{AS}}(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\dots,\mathbf{r}_N;t)$

${\displaystyle\hat{H} = \sum_{i=1}^N\left(-\frac{\hbar^2}{2m_i}\mathbf{\nabla}_i^2 + V_i(\mathbf{r}_i)\right) + \frac{1}{2}\sum_{i \neq j}U_{ij}(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j)}$

${N}$ 個のフェルミ粒子がいる状態を定義する。

$|\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots,\mathbf{r}_N\rangle = \frac{1}{\sqrt{N!}}\hat{\psi}^{\dagger}(\mathbf{r}_1)\hat{\psi}^{\dagger}(\mathbf{r}_2)\cdots\hat{\psi}^{\dagger}(\mathbf{r}_N)|0\rangle$

${\hat{\psi}(\mathbf{r})|0\rangle = 0}$
${\{\hat{\psi}(\mathbf{r}),\hat{\psi}(\mathbf{r}^{\prime})\} = 0}$
${\{\hat{\psi}^{\dagger}(\mathbf{r}),\hat{\psi}^{\dagger}(\mathbf{r}^{\prime})\} = 0}$
${\{\hat{\psi}(\mathbf{r}),\hat{\psi}^{\dagger}(\mathbf{r}^{\prime})\} = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime})}$

第二量子化の定式化：

$|\Psi_N(t)\rangle = \int d\mathbf{r}_1d\mathbf{r}_2\cdots d\mathbf{r}_N\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\dots,\mathbf{r}_N;t)|\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\dots,\mathbf{r}_N\rangle$

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi_N(t)\rangle = \hat{\mathscr{H}}|\Psi_N(t)\rangle$

$\Psi_{\mathrm{AS}}(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\dots,\mathbf{r}_N;t) = \langle\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\dots,\mathbf{r}_N|\Psi_N(t)\rangle$
${\hat{\mathscr{H}} = \hat{\mathscr{H}}_0 + \hat{\mathscr{H}}_{\mathrm{int}}}$
$\hat{\mathscr{H}}_0 = \int d\mathbf{r}\left\{\frac{\hbar^2}{2m}\mathbf{\nabla}\hat{\psi}^{\dagger}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{\nabla}\hat{\psi}(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\hat{\psi}^{\dagger}(\mathbf{r})\hat{\psi}(\mathbf{r})\right\}$
${\displaystyle\hat{\mathscr{H}}_{\mathrm{int}} = \frac{1}{2}\iint d\mathbf{r}d\mathbf{r}^{\prime}\hat{\psi}^{\dagger}(\mathbf{r})\hat{\psi}^{\dagger}(\mathbf{r}^{\prime})U(\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime})\hat{\psi}(\mathbf{r}^{\prime})\hat{\psi}(\mathbf{r})}$

物理量の期待値は波動関数 ${|\Psi_N(t)\rangle}$ を用いたものに変更される。

エネルギーの期待値： ${\langle\Psi_N(t)|\hat{\mathscr{H}}|\Psi_N(t)\rangle}$
粒子密度の期待値： ${\langle\Psi_N(t)|\hat{\rho}(\mathbf{r})|\Psi_N(t)\rangle}$
密度演算子： ${\hat{\rho}(\mathbf{r}) = \hat{\psi}^{\dagger}(\mathbf{r})\hat{\psi}(\mathbf{r})}$

ハイゼンベルグ描像

${\langle\Psi^{\prime}(t)|\hat{\mathscr{O}}|\Psi(t)\rangle = \langle\Psi^{\prime}(0)|\hat{\mathscr{O}}_{\mathrm{H}}(t)|\Psi(0)\rangle}$

${\hat{\mathscr{O}}_{\mathrm{H}}(t) = e^{i\hat{\mathscr{H}}t/\hbar}\hat{\mathscr{O}}e^{-i\hat{\mathscr{H}}t/\hbar}}$

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\hat{\mathscr{O}}_{\mathrm{H}}(t) = [\hat{\mathscr{O}}_{\mathrm{H}}(t),\hat{\mathscr{H}}]$

モデルと物理量

自由電子ガスモデル

第二量子化の演算子 ${\hat{\psi}_{\alpha}(\mathbf{r})}$ を規格化された平面波で展開する。

${\displaystyle\hat{\psi}_{\alpha}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\hat{c}_{\mathbf{k},\alpha}}$

系の体積： ${V = L^3}$
電子のスピン： ${\alpha}$
波数： ${\mathbf{k} = (2\pi n_x/L,\,2\pi n_y/L,\,2\pi n_z/L)}$
固有エネルギー： ${\varepsilon_{\mathbf{k}} = \hbar^2k^2/2m}$
${\{\hat{c}_{\mathbf{k},\alpha},\hat{c}_{\mathbf{k}^{\prime},\beta}^{\dagger}\} = \delta_{\mathbf{k},\mathbf{k}^{\prime}}\delta_{\alpha\beta}}$

${\displaystyle\hat{\mathscr{H}}_0 = \sum_{\mathbf{k},\alpha}\varepsilon_{\mathbf{k}}\hat{c}_{\mathbf{k},\alpha}^{\dagger}\hat{c}_{\mathbf{k},\alpha}}$

相互作用がある場合：

$\hat{\mathscr{H}}_{\mathrm{int}} = \frac{1}{2V}\sum_{\alpha\beta}\sum_{\mathbf{k},\mathbf{k}^{\prime},\mathbf{q}}U_{\alpha,\beta,\mathbf{q}}\hat{c}_{\mathbf{k} + \mathbf{q},\alpha}^{\dagger}\hat{c}_{\mathbf{k}^{\prime} - \mathbf{q},\beta}^{\dagger}\hat{c}_{\mathbf{k}^{\prime},\beta}\hat{c}_{\mathbf{k},\alpha}$

$U_{\alpha,\beta,\mathbf{q}} = \int d\mathbf{r}e^{-i\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime})}U_{\alpha,\beta}(\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime})$

グリーン関数

1 粒子グリーン関数

有限温度での 1 粒子グリーン関数：

$G_{\alpha\beta}(\mathbf{r},t;\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime}) \equiv -i\left\langle T_t\left[\hat{\psi}_{\mathrm{H}\alpha}(\mathbf{r},t)\hat{\psi}_{\mathrm{H}\beta}^{\dagger}(\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})\right]\right\rangle$

${\hat{\psi}_{\mathrm{H}\alpha}(\mathbf{r},t) \equiv e^{i(\hat{\mathscr{H}} - \mu\hat{\mathscr{N}})t/\hbar}\hat{\psi}_{\alpha}(\mathbf{r})e^{-i(\hat{\mathscr{H}} - \mu\hat{\mathscr{N}})t/\hbar}}$

${\hat{\mathscr{H}}}$ ：全ハミルトニアン
${\hat{\mathscr{N}}}$ ：全粒子数演算子
${\mu}$ ：化学ポテンシャル
${T_t}$ ：時間順序積演算子

${\langle\cdots\rangle}$ はグランドカノニカル分布による平均を表す。

$\langle\cdots\rangle \equiv \frac{1}{\Xi}\mathrm{Tr}\left[e^{-\beta(\hat{\mathscr{H}} - \mu\hat{\mathscr{N}})}\cdots\right]$

$\Xi \equiv \mathrm{Tr}\left[e^{-\beta(\hat{\mathscr{H}} - \mu \hat{\mathscr{N}})}\right]$

温度グリーン関数

$\mathscr{G}_{\alpha\beta}(\mathbf{r},\tau;\mathbf{r}^{\prime},\tau^{\prime}) \equiv - \left\langle T_{\tau}\left[\hat{\psi}_{\mathrm{H}\alpha}(\mathbf{r},\tau)\hat{\psi}_{\mathrm{H}\beta}^+(\mathbf{r}^{\prime},\tau^{\prime})\right]\right\rangle$

${\hat{\psi}_{\mathrm{H}\alpha}(\mathbf{r},\tau) \equiv e^{\tau(\hat{\mathscr{H}} - \mu\hat{\mathscr{N}})}\hat{\psi}_{\alpha}(\mathbf{r})e^{-\tau(\hat{\mathscr{H}} - \mu\hat{\mathscr{N}})}}$
${\hat{\psi}_{\mathrm{H}\beta}^+(\mathbf{r}^{\prime},\tau^{\prime}) \equiv e^{\tau^{\prime}(\hat{\mathscr{H}} - \mu\hat{\mathscr{N}})}\hat{\psi}_{\beta}^{\dagger}(\mathbf{r}^{\prime})e^{-\tau^{\prime}(\hat{\mathscr{H}} - \mu\hat{\mathscr{N}})}}$

自由電子ガスの温度グリーン関数：

${\mathscr{G}^{(0)}_{\alpha\beta}(\mathbf{r},\tau;\mathbf{r}^{\prime},\tau^{\prime}) = \delta_{\alpha\beta}\mathscr{G}^{(0)}(\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime},\tau - \tau^{\prime})}$

${\displaystyle\mathscr{G}^{(0)}(\mathbf{r},\tau) = \frac{k_{\mathrm{B}}T}{V}\sum_{\mathbf{k}}\sum_ne^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}e^{-i\omega_n\tau}\mathscr{G}^{(0)}(\mathbf{k},i\omega_n)}$

$\mathscr{G}^{(0)}(\mathbf{k},i\omega_n) = \frac{1}{i\omega_n - \varepsilon_{\mathbf{k}} + \mu}$

物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

物性物理のための場の理論・グリーン関数

第二量子化

モデルと物理量

グリーン関数

摂動論とファインマンダイアグラム

線形応答理論

線形応答理論の応用：電荷応答

帯磁率とハバードモデル

電気伝導度

電子格子系

超伝導

熱電応答

固体中の電磁気学