イデアル類群と単数群

代数的整数

代数的数：有理数体 ${\mathbb{Q}}$ 上の 0 でない多項式 ${f(X) \in \mathbb{Q}[X]}$ の根となる複素数 ${\alpha \in \mathbb{C}}$
最小多項式： ${\alpha}$ を根にもつ多項式 ${f(X) \in \mathbb{Q}[X]}$ の中で次数が最小で、最高次の係数が 1 であるもの（モニック）
代数的整数：有理整数係数モニックの根となる代数的数 ${\alpha}$

${\alpha}$ が代数的数のとき、次は同値である。

${\alpha}$ は代数的整数である。

${\mathbb{Z}[\alpha]}$ は有限生成 ${\mathbb{Z}}$ 加群である。

${\alpha L \subset L}$ をみたす非自明な有限生成 ${\mathbb{Z}}$ 加群 ${L \subset \mathbb{C}}$ が存在する。

${\alpha,\beta}$ が代数的整数なら ${\alpha + \beta}$ 、 ${\alpha\beta}$ も代数的整数である。

整数環

代数体 ${K}$ に含まれる代数的整数の全体 ${\mathfrak{D}_K}$ は環になる。（ ${K}$ の整数環）

有限次数代数体 ${K}$ の整数環 ${\mathfrak{D}_K}$ はデデキント整域である。すなわち ${\mathfrak{D}_K}$ は以下をみたす。

${\mathfrak{D}_K}$ はネーター環である。

${\mathfrak{D}_K}$ は整閉である。すなわち ${x \in K}$ が ${\mathfrak{D}_K}$ 係数モニックの根であれば ${x \in \mathfrak{D}_K}$ 。

${\mathfrak{D}_K}$ の 0 でない素イデアルは極大イデアルである。