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極小曲面論入門

その幾何学的性質を探る

川上裕・藤森祥一　共著

2019年3月25日　初版発行

極小（超）局面の基礎

${M}$ を ${n}$ 次元多様体とする。

はめ込み ${f: M \to \mathbf{R}^{n + 1}}$ のことを ${\mathbf{R}^{n+1}}$ の超曲面という。

特に、 ${n = 2}$ のときは ${\mathbf{R}^3}$ の曲面という。

の第一基本形式
- ${\mathrm{I} := g_{ij}du^idu^j}$
- ${g_{ij} := \langle f_i,f_j\rangle}$
- ${g = (g_{ij})}$ の逆行列 ${g^{-1}}$ の ${(i,j)}$ 成分を ${g^{ij}}$ で表す。
の第二基本形式
- ${\mathrm{II} := h_{ij}du^idu^j}$
- ${h_{ij} := \langle f_{ij},\nu\rangle = - \langle f_i,\nu_j\rangle = - \langle f_j,\nu_i\rangle}$
- ${\langle \nu,\nu\rangle = 1}$
- ${\langle f_i,\nu\rangle = 0}$
の型作用素
- ${s := (s^i_j) := g^{-1}h}$
- ${s}$ は常に対角化可能であり、固有値は常に実数である。
のガウス・クロネッカー曲率
- $K := \det\,(s) = \frac{\det\,(h)}{\det\,(g)}$
の平均曲率
- $H := \frac{1}{n}\mathrm{tr}\,(s)$

変分

次の２条件を満たす ${C^{\infty}}$ 級写像

${\bar{f}: I \times \bar{M} \ni (t;u^1,\dots,u^n) \mapsto \bar{f}(t;u^1,\dots,u^n) \in \mathbf{R}^{n+1}}$

を ${f(\bar{M})}$ の境界を固定する滑らかな変分という：

任意の ${(u^1,\dots,u^n) \in M}$ に対して ${\bar{f}(0;u^1,\dots,u^n) \in \mathbf{R}^{n+1}}$
任意の ${t \in I}$ 、任意の ${(u^1,\dots,u^n) \in \partial M}$ に対して ${\bar{f}(t;u^1,\dots,u^n) = f(u^1,\dots,u^n)}$

はめ込み ${f}$ の境界を固定する滑らかな変分 ${\bar{f}}$ を任意に１つとる。

各 ${t \in I}$ に対して、はめ込み ${\bar{f}}$ の体積を ${\mathrm{Vol}_f(t)}$ で表す。

$\mathrm{Vol}_f(t) = \int_M\sqrt{\det\bar{g}}\,du^1\wedge\dots\wedge du^n$

${\mathbf{R}^{n+1}}$ 内の ${(n - 1)}$ 次元閉多様体 ${N}$ に対して、はめ込み ${f: M \to \mathbf{R}^{n+1}}$ が ${f(\partial M) = N}$ を満たし、かつ体積が最小ならば、 ${f}$ の任意の変分 ${\bar{f}}$ に対して

${\mathrm{Vol}_f(0) \le \mathrm{Vol}_f(t),\quad {}^{\forall} t \in I}$

が成り立つ。

このとき ${\left.\displaystyle \frac{d}{dt}\right|_{t=0}\mathrm{Vol}_f(t) = 0}$ が成り立つ。

はめ込み ${f}$ の任意の変分 ${\bar{f}}$ に対して、 ${\left.\displaystyle \frac{d}{dt}\right|_{t=0}\mathrm{Vol}_f(t) = 0}$ が成り立つためには、 ${f}$ の平均曲率 ${H}$ が恒等的に 0 となることが必要十分である。

はめ込み ${f: M \to \mathbf{R}^{n + 1}}$ が ${H \equiv 0}$ を満たすとする。

${f}$ の第二変分 $\left.\frac{d^2}{dt^2}\right|_{t=0}\mathrm{Vol}_f(t)$ が ${f}$ の任意の非自明な変分 ${\bar{f}}$ に対して正となるとき、はめ込み ${f}$ は安定であるという。

グラフ超曲面

${f: M \ni (u^1,\dots,u^n) \mapsto (u^1,\dots,u^n,\varphi(u^1,\dots,u^n)) \in \mathbf{R}^{n+1}}$

で与えられるはめ込み ${f}$ を ${\varphi}$ による超曲面のグラフ表示、または、関数 ${\varphi}$ で表されるグラフ超曲面という。

${M}$ ： ${\mathbf{R}^n}$ の領域
${\varphi}$ ： ${M}$ 上の関数

${H \equiv 0}$ を満たすグラフ（超）曲面は常に安定である。

任意のはめ込みは局所的にグラフ表示できるから、 ${H \equiv 0}$ を満たすはめ込み ${f}$ は局所的に安定である。

${H \equiv 0}$ を満たすはめ込みを極小（超）局面という。

グラフ超局面の平均曲率：

${g_{ij} = \delta_{ij} + \varphi_i\varphi_j}$
$h_{ij} = \frac{\varphi_{ij}}{\sqrt{1 + |\nabla\varphi|^2}}$

$nH = g^{ij}h_{ij} = \frac{1}{(1 + |\nabla\varphi|^2)^{3/2}}\left((1 + |\nabla\varphi|^2)\sum_i\varphi_{ii} - \sum_{i,j}\varphi_i\varphi_j\varphi_{ij}\right) = \mathrm{div}\frac{\nabla\varphi}{\sqrt{1 + |\nabla\varphi|^2}}$

関数 ${\varphi}$ で表されるグラフ超曲面が極小超局面であるための必要十分条件：

$(1 + |\nabla\varphi|^2)\sum_i\varphi_{ii} - \sum_{i,j}\varphi_i\varphi_j\varphi_{ij} = 0$

ベルンシュタインの問題

${\mathbf{R}^2}$ 全体で定義された関数 ${\varphi}$ で表されるグラフ極小局面は平面に限る。

物理ノート

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