SGCライブラリ - 157

新版　量子光学と量子情報科学

古澤明・武田俊太郎　著

2020年3月25日　新版発行

量子光学

電磁場の量子化

電磁場の総エネルギーに相当するハミルトニアンを ${\hat{H}_{\mathrm{sys}}}$ とする。

$\hat{H}_{\mathrm{sys}} = \int d^3r\left(\frac{1}{2}\epsilon_0\hat{\mathbf{E}}(\mathbf{r})\cdot\hat{\mathbf{E}}(r) + \frac{1}{2\mu_0}\hat{\mathbf{B}}(\mathbf{r})\cdot\hat{\mathbf{B}}(\mathbf{r})\right)$

ハイゼンベルク描像でのシングルモード電場演算子 ${\hat{E}_s(\mathbf{r},t)}$ および磁束密度演算子 ${\hat{B}_s(\mathbf{r},t)}$ を考える。

${\displaystyle\hat{E}_s(\mathbf{r},t) = \frac{i}{2}\mathbf{e}\left[\hat{a}(t)e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} - \hat{a}^{\dagger}(t)e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\right]}$

${\displaystyle\hat{B}_s(\mathbf{r},t) = \frac{i}{2}\mathbf{k} \times \mathbf{e}\left[\hat{a}(t)e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} - \hat{a}^{\dagger}(t)e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\right]}$

${\hat{a}e^{-i\omega t} = \hat{a}(t)}$
${[\hat{a},\hat{a}^{\dagger}] = 1}$
$\hat{x}(t) = \frac{1}{2}\left[\hat{a}(t) + \hat{a}^{\dagger}(t)\right]$
$\hat{p}(t) = \frac{1}{2i}\left[\hat{a}(t) - \hat{a}^{\dagger}(t)\right]$

時間発展としての物理過程

屈折率が ${n}$ の媒質中のハミルトニアン：

${\displaystyle\hat{H}_{n,\mathrm{sys}} = \frac{\hbar\omega}{n}\left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \frac{1}{2}\right)}$

ビームスプリッターの入出力関係は 2 行 2 列の行列 ${\mathbf{B}}$ で書ける。

\begin{equation} \binom{\hat{a}_1^{\prime}}{\hat{a}_2^{\prime}} = \mathbf{B}\binom{\hat{a}_1}{\hat{a}_2} = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix} \binom{\hat{a}_1}{\hat{a}_2} \end{equation}

${\mathbf{B}}$ はエネルギー保存の要請を満たさなければならない。

${\hat{a}_1^{\dagger}\hat{a}_1 + \hat{a}_2^{\dagger}\hat{a}_2 = \hat{a}_1^{\prime\dagger}\hat{a}_1^{\prime} + \hat{a}_2^{\prime\dagger}\hat{a}_2^{\prime}}$

${|B_{11}|^2 + |B_{21}|^2 = |B_{12}|^2 + |B_{22}|^2}$
${B_{11}^{\ast}B_{12} + B_{21}^{\ast}B_{22} = 0}$

\begin{equation} \mathbf{B} = e^{i\Lambda/2} \begin{pmatrix} e^{i\Psi/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\Psi/2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos(\Theta/2) & \sin(\Theta/2) \\ -\sin(\Theta/2) & \cos(\Theta/2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\Phi/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\Phi/2} \end{pmatrix} \end{equation}

入射光の位相を適当に調整したビームスプリッターの行列は次のように書ける。

\begin{equation} \mathbf{B} = \begin{pmatrix} \sqrt{T} & -\sqrt{R} \\ \sqrt{R} & \sqrt{T} \end{pmatrix} \end{equation}

${\sqrt{T} = \cos(\Theta/2)}$
${\sqrt{R} = -\sin(\Theta/2)}$

ビームスプリッターのハミルトニアンを ${\hat{L}_2}$ で代表させる。

$\hat{L}_2 = \frac{1}{2i}\left(\hat{a}_1^{\dagger}\hat{a}_2 - \hat{a}_1\hat{a}_2^{\dagger}\right)$

\begin{equation} e^{-i\Theta\hat{L}_2}\binom{\hat{a}_1}{\hat{a}_2}e^{i\Theta\hat{L}_2} = \begin{pmatrix} \cos(\Theta/2) & \sin(\Theta/2) \\ -\sin(\Theta/2) & \cos(\Theta/2) \end{pmatrix} \binom{\hat{a}_1}{\hat{a}_2} \end{equation}

コヒーレント状態

レーザー光の状態はテクニカルノイズを除くとコヒーレント状態 ${\vert\alpha\rangle}$ と考えることができる。

${\hat{a}\vert\alpha\rangle = \alpha\vert\alpha\rangle}$
${\langle\alpha\vert\hat{a}^{\dagger} = \langle\alpha\vert\alpha^{\ast}}$

コヒーレント状態 ${\vert\alpha\rangle}$ を生成する物理過程は、レーザー発振のハミルトニアンで記述できる。

${\hat{H}_{\mathrm{laser}} \propto i(\alpha\hat{a}^{\dagger} - \alpha^{\ast}\hat{a})}$

真空 ${\vert 0\rangle}$ からコヒーレント状態 ${\vert\alpha\rangle}$ を生成するレーザー発振は次式のように書ける。

${\vert\alpha\rangle = e^{\alpha\hat{a}^{\dagger} - \alpha^{\ast}\hat{a}}\vert 0\rangle}$

スクイーズド状態

${\hat{b}}$ の固有状態であるスクイーズド状態を考える。

${\hat{b} = \mu\hat{a} + \nu\hat{a}^{\dagger}}$
${|\mu|^2 - |\nu|^2 = 1}$

縮退パラメトリック過程を用いれば、 ${\hat{a}}$ から ${\hat{b}}$ への変換（ボゴリューボフ変換）を行うことができる。

${\hat{H}_{\mathrm{para}} \propto i(\hat{a}^2 - \hat{a}^{\dagger 2})}$

このハミルトニアンによるユニタリー変換はスクイーズ演算子 ${\hat{S}(r)}$ となる。

${\displaystyle\hat{S}(r) = e^{\frac{r}{2}(\hat{a}^2 - \hat{a}^{\dagger 2})}}$

${\hat{S}^{\dagger}(r)\hat{a}\hat{S}(r) = \hat{a}\cosh r - \hat{a}^{\dagger}\sinh r}$

量子情報物理

量子情報処理とは、入力の量子情報 ${\vert\psi_{\mathrm{in}}\rangle}$ にユニタリー変換 ${\hat{U}_f}$ を施し、出力 ${\vert\psi_{\mathrm{out}}\rangle}$ を得ることである。

${\vert\psi_{\mathrm{out}}\rangle = \hat{U}_f\vert\psi_{\mathrm{in}}\rangle}$

量子光学的にユニバーサルな量子情報処理を行うためには、次のハミルトニアンがあればよい。

ビームスプリッター： ${\frac{1}{2i}(\hat{a}_1^{\dagger}\hat{a}_2 - \hat{a}_1\hat{a}_2^{\dagger})}$
ディスプレースメント（変位）： ${i(\alpha\hat{a}^{\dagger} - \alpha^{\ast}\hat{a})}$
位相シフター： ${\hat{a}^{\dagger}\hat{a}}$
スクイーズ： ${i(\hat{a}^2 - \hat{a}^{\dagger 2})}$
3 次の非線形光学課程、例えば光カー効果： ${\hat{a}_1^{\dagger}\hat{a}_1\hat{a}_2^{\dagger}\hat{a}_2}$

物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

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