SGCライブラリ - 160

時系列解析入門

線形システムから非線形システムへ

宮野尚哉・後藤田浩　共著

2020年6月25日　第２版発行

確率過程と時系列

確率変数 ${X}$ の分布関数： ${F(x) = P(X \le x)}$

確率密度関数： $p(x) = \frac{dF(x)}{dx}$

定常過程：

${F[x(t_1),x(t_2),\dots,x(t_N)] = F[x(t_1 + T),x(t_2 + T),\dots,x(t_N + T)]}$

線形予測

Wold の分解定理

どのような定常過程 ${\{z(t)\}}$ も、決定論的な定常過程 ${\{y(t)\}}$ と非決定論的な定常過程 ${\{x(t)\}}$ の和で表すことができる：

自己回帰モデル

自己回帰過程（AR 過程）

${x(t) = c_1x(t - 1) + c_2x(t - 2) + \cdots + c_px(t - p) + \xi(t)}$

${z}$ 変換

${X(z) = (c_1z + c_2z^2 + \cdots c_pz^p)X(z) + N(z)}$

$X(z) = \frac{1}{1 - c_1z - c_2z^2 - \cdots - c_pz^p}N(z) = H(z)N(z)$

移動平均モデル

${q}$ 次移動平均過程（MA 過程）

${x(t) = \xi(t) - a_1\xi(t - 1) - \cdots - a_q\xi(t - q)}$

${z}$ 変換

${X(z) = (1 - a_1z - \cdots - a_qz^q)N(z) = A(z)N(z)}$

自己回帰移動平均モデル

自己回帰移動平均過程（ARMA 過程）

$x(t) = \sum_{i=1}^pc_ix(t - i) + \xi(t) - \sum_{j=1}^qa_j\xi(t - j)$

${z}$ 変換

${(1 - c_1z - \cdots - c_pz^p)X(z) = (1 - a_1z - \cdots - a_qz^q)N(z)}$

自己回帰積分移動平均モデル

自己回帰積分移動平均過程（ARIMA 過程）

$z(t) = \sum_{i=1}^pc_iz(t - i) + \xi(t) - \sum_{j=1}^qa_j\xi(t - j)$