物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

例題形式で探求する集合・位相

SGCライブラリ - 163

例題形式で探求する集合・位相

連続写像の織りなすトポロジーの世界

丹下基生 著

2020年11月25日 初版発行

集合論

  1. 外延性公理: {\forall z (z \in x \leftrightarrow z \in y) \rightarrow x= y}
  2. 内包性公理: {\exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow (z \in x \wedge \varphi(z)))}
  3. 対の公理: {\exists z(x \in z \wedge y \in z)}
  4. 空集合の公理: {\exists z\forall x (x \notin z)}
  5. 正則性公理: {\exists y(y \in x) \rightarrow \exists y(y \in x \wedge \neg\exists z(z \in x \wedge z \in y))}
  6. 和集合の公理: {\exists y \forall z\forall w(z \in x \wedge w \in z \rightarrow w \in y)}
  7. 無限公理: {\exists y(\emptyset \in y \wedge \forall x(x \in y \rightarrow S(x) \in y))}
  8. べき集合の公理: {\exists y\forall z(z \in y \leftrightarrow z \subset x)}
  9. 置換公理: {\forall x \in a \exists ! y\varphi(x,y) \rightarrow \exists z\forall x \in a(\exists y\varphi(x,y) \rightarrow \exists y \in z\varphi(x,y)}
  10. 選択公理: {\forall x \in a(x \neq 0) \rightarrow \exists f\forall x \in a(f(x) \in x)}

公理 1 から公理 9 までの組合せで得られたものを集合と認めて展開する集合論を ZF 集合論という。

ZF 集合論に、さらに公理 10 を含めた集合論を ZFC 集合論という。

位相空間とその構成

 {\mathcal{P}(X)} {X} の部分集合全体の集合とする。

 {X} を集合とする。

以下を満たすような  {\mathcal{P}(X)} の部分集合  {\mathcal{O}} を開集合系(もしくは位相)といい、 {\mathcal{O}} の元を開集合という。

  •  {\emptyset, X \in \mathcal{O}} を満たす。
  •  {n \in \mathbb{N}} とする。 {U_1,\dots,U_n \in \mathcal{O}} ならば、 {U_1, \cap \dots \cap U_n \in \mathcal{O}} を満たす。
  •  {X} の任意の  {\mathcal{O}} の集合族  {\{U_{\lambda} \in \mathcal{O}\vert\lambda \in \Lambda\}} に対して  {\bigcup_{\lambda \in \Lambda}U_{\lambda} \in \mathcal{O}} を満たす。

集合  {X} と開集合系  {\mathcal{O}} を組みにした空間  {(X,\mathcal{O})} を位相空間という。

集合  {F} が閉集合であることを  {F^c \in \mathcal{O}} であることとして定義する。

位相的性質

連結性

位相空間  {(X,\mathcal{O})} が連結であるとは、 {X} が空ではない  {U,V \in \mathcal{O}} によって  {X = U \sqcup V} と表せないことをいう。

また、連結な位相空間を連結空間という。

位相空間  {(X,\mathcal{O})} が連結ではないとき  {X} は非連結であるという。

つまり、どちらも空ではない開集合  {U,V \in \mathcal{O}} が存在し、 {X = U \sqcup V} となることである。

分離公理

位相空間  {(X,\mathcal{O})} において、部分集合  {A,B \subset X} {\exists U,V \in \mathcal{O}(A \subset U \wedge B \subset V \wedge U \cap V = \emptyset)} を満たすとき、 {A, B} は開集合によって分離されるという。

  •  {T_0} 公理

    任意の異なる 2 点  {p,q \in X} に対して、

     {\exists U \in \mathcal{O}( (p \in U \wedge q \notin U) \vee (q \in U \wedge p \notin U) )}

    を満たす。

  •  {T_1} 公理

    任意の異なる 2 点  {p,q \in X} に対して、

     {\exists U,V \in \mathcal{O}( (p \in U \wedge q \notin U) \wedge (q \in V \wedge p \notin V) )}

    を満たす。

  •  {T_2} 公理

     {X} の任意の異なる 2 点が開集合によって分離される。

  •  {T_3} 公理

     {X} の任意の 1 点とその点を含まない任意の閉集合が開集合によって分離される。

  •  {T_4} 公理

     {X} の互いに交わらない任意の 2 つの閉集合が開集合によって分離される。

  •  {T_5} 公理

    任意の部分空間が  {T_4} 公理を満たす。

 {T_n} 公理を満たす位相空間を  {T_n} 空間という。

  •  {T_2} 空間は  {T_1} 空間であり、 {T_1} 空間は  {T_0} 空間である。
  •  {T_2} 空間のことを特にハウスドルフ空間という。
  •  {T_1} かつ  {T_3} 空間のことを正則空間、 {T_1} かつ  {T_4} 空間のことを正規空間、 {T_1} かつ  {T_5} 空間のことを全部分正規空間という。

被覆

位相空間  {(X,\mathcal{O})} のある部分集合族  {\mathcal{U} \subset \mathcal{P}(X)} {X} の被覆であるとは、 {\forall x \in X\exists A \in \mathcal{U}(x \in A)}、つまり  {X = \cup\mathcal{U}} であることである。

被覆  {\mathcal{U}} {\mathcal{U} \subset \mathcal{O}} であるとき、 {\mathcal{U}} を開被覆という。

被覆  {\mathcal{U}} が可算集合族なら可算被覆といい、有限集合族なら有限被覆という。

また、被覆  {\mathcal{U}} に対して、 {\mathcal{V} \subset \mathcal{U}} {X} の被覆であるとき、 {\mathcal{V}} {\mathcal{U}} に対する  {X} の部分被覆という。

リンデレフ空間

 {\mathcal{U}} を位相空間  {(X,\mathcal{O})} の任意の開被覆とする。

 {\mathcal{U}} の部分被覆で高々可算のものが存在するとき、 {(X,\mathcal{O})} をリンデレフ(空間)という。

コンパクト空間

位相空間  {(X,\mathcal{O})} の任意の開被覆  {\mathcal{U}} に対して、 {\mathcal{U}} に対する有限部分被覆  {\mathcal{V}} が存在するとき、 {(X,\mathcal{O})} はコンパクトであるといい、コンパクトな位相空間をコンパクト空間という。

距離空間とコンパクト性

 {(X,\mathcal{O})} をハウスドルフ空間とする。

コンパクトハウスドルフ空間  {(\hat{X},\hat{\mathcal{O}})} と連続な埋め込み写像  {h:X \hookrightarrow \hat{X}} が存在して、 {h(X)} {\hat{X}} において稠密であるとき、 {(\hat{X},\hat{\mathcal{O}},h)} {(X,\mathcal{O})} のコンパクト化という。

パラコンパクト性

位相空間  {(X,\mathcal{O})} の被覆  {\mathcal{U}} に対して被覆  {\mathcal{V}} {\mathcal{U}} に対する細分であるとは、 {\forall V \in \mathcal{V}\exists U \in \mathcal{U}(V \subset U)} となることをいい、 {\mathcal{V} \le \mathcal{U}} と書くことにする。

また、開集合からなる細分を開細分といい、閉集合からなる細分を閉細分という。

パラコンパクト空間

位相空間  {X} において、任意の開被覆  {\mathcal{U}} に対して  {\mathcal{V} \le \mathcal{U}} となる局所有限な開被覆  {\mathcal{V}} が存在するとき、 {X} はパラコンパクトという。

位相空間の関連する話題

 {(X,\mathcal{O})} を連結なハウスドルフ空間とする。

 {X} のある開被覆  {\{V_{\alpha}\vert\alpha \in A\}} が存在して、 {\forall\alpha \in A} に対して  {V_{\alpha}} が、ユークリッド空間  {(\mathbb{R}^n,d_n)} のある開集合  {U_{\alpha}} と同相であるとき、 {X} を位相多様体という。

コンパクトな位相多様体を閉位相多様体という。

また、同相写像を  {\varphi_{\alpha}: U_{\alpha} \to V_{\alpha}} としたとき、 {\{(V_{\alpha},\varphi_{\alpha}\vert\alpha \in A\})} を座標近傍系といい、 {V_{\alpha}} を座標近傍という。

このような  {n} は座標近傍によらず一定であり、 {n} を多様体  {X} の次元という。