SGCライブラリ - 168

幾何学的な線形代数

基礎概念から幾何構造まで

戸田正人　著

2021年5月25日　初版発行

序章

${K}$ -ベクトル空間 ${W}$ の元 ${\mathbf{w}}$ に対して ${T_{\mathrm{w}}(\mathbf{x}) = \mathbf{x} + \mathbf{w}}$ で定まる写像 ${T_{\mathbf{w}}: W \to W}$ を平行移動という。
線型写像 ${f: V \to W}$ との合成 ${T_{\mathbf{w}} \circ f}$ をアフィン写像という。
${v \in V}$ とする。部分ベクトル空間 ${V_1 \subset V}$ の平行移動 ${T_{\mathbf{v}}}$ による像 ${T_{\mathbf{v}}(V_1)}$ を部分アフィン空間という。
${\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k \in V}$ に対して係数 ${t_1,\dots,t_k \in K}$ によるスカラー倍と和を施した形の ${V}$ の元 ${t_1\mathbf{v}_1 + t_2\mathbf{v}_2 + \cdots + t_k\mathbf{v}_k}$ を（ ${k}$ 項の）線型結合という。
とくに係数が ${t_1 + t_2 + \cdots + t_k = 1}$ を満たしている線型結合をアフィン結合という。
アフィン結合に関する条件 ${\phi(t_1\mathbf{v}_1 + \cdots + t_k\mathbf{v}_k) = t_1\phi(\mathbf{v}_1) + \cdots + t_k\phi(\mathbf{v}_k)}$ と ${\phi: V \to W}$ がアフィン写像であることは同値である。
${V}$ 上アフィン結合を演算とする構造（アフィン構造）だけを考える場合、 ${V}$ をアフィン空間と呼ぶ。

行列式

$\det(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n) = \sum_{j \in \Sigma_n}\mathrm{sgn}\,(j)v_{j_11}\cdots v_{j_nn}$

${n}$ 次の置換 ${j: i \mapsto j_i}$
${n}$ 次の置換全体 ${\Sigma_n}$

線形変換の不変部分空間

${K}$ -ベクトル空間 ${V}$
線形変換 ${f: V \to V}$

部分ベクトル空間 ${W \subset V}$ が ${f(W) \subset W}$ を満たしているとき ${W}$ は ${f}$ で不変、あるいは ${W}$ は ${f}$ の不変部分空間であるという。

${f}$ の定義域を ${W}$ に取り直した写像を ${W}$ への制限といい、 ${f|_W}$ と書く。

ジョルダン標準形

${V}$ が複素ベクトル空間の場合には ${f}$ の不変部分空間 ${V_{\lambda}}$ への直和分解 ${V = \oplus_{\lambda \in \mathbb{C}}V_{\lambda}}$ が存在して、 ${f|_{V_{\lambda}}}$ の表現行列をすべての対角成分が ${\lambda}$ である上三角行列にとることができる。

${V_{\lambda}}$ は直既約な不変部分空間 ${W_{\alpha}(\lambda)}$ に直和分解し、 ${f|_{W_{\alpha}(\lambda)}}$ はジョルダンブロックで表現される。

\begin{equation} J_{\lambda} = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & & \\ & \lambda & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \lambda & 1 \\ & & & & \lambda \end{pmatrix} \end{equation}

${V_{\lambda}}$ の直和分解に現れる ${W_{\alpha}(\lambda)}$ のうち与えられた次元を持つものの数も一意的に決まる。

2 次形式

${\mathbb{R}^n}$ 線形変換 ${f}$ が標準的なユークリッド内積 ${(,)_{\mathbb{R}^n}}$ を保つとき ${f}$ を直交変換という。

2 次対称形式 ${B: V \times V \to K}$
2 次形式 ${Q(\mathbf{v}) = B(\mathbf{v},\mathbf{v})}$

実ベクトル空間 ${V}$ の基底 ${\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\}}$ に対して ${\mathbf{x},\mathbf{y} \in V}$ が ${\mathbf{x} = \sum_ix_i\mathbf{v}_i}$ , ${\mathbf{y} = \sum_jy_j\mathbf{v}_j}$ と表されているとき ${B(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \sum_{i,j}x_iy_jB(\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j)}$ と書けるから ${B_{ij} = B(\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j)}$ で ${B}$ は決まる。

基底によって ${V}$ が ${\mathbb{R}^n}$ と同一視されているとき、 ${B_{ij}}$ を ${n}$ 次対称行列 ${H}$ の ${(i,j)}$ 成分とみなせば ${B}$ には ${\mathbb{R}^n}$ 上の 2 次対称形式が対応する。

${B_{\mathbb{R}^n}(\mathbf{x},\mathbf{y}) = (H\mathbf{x},\mathbf{y})_{\mathbb{R}^n} = {}^t\mathbf{x}H\mathbf{y}}$

${H}$ をこの基底に関する ${B}$ の表現行列と呼ぶ。

${B}$ ：実ベクトル空間 ${V}$ 上の 2 次対称形式
${V}$ の正（負）定値部分ベクトル空間の最大次元を ${d^+}$ （ ${d^-}$ ）
${V}$ の半正（負）定値部分ベクトル空間の最大次元を ${d_0^+}$ （ ${d_0^-}$ ）
すべての ${V}$ のベクトルと直交するベクトルのなす部分ベクトル空間 ${\mathrm{Null}_V(B)}$

${\mathrm{dim} V = d^+ + d_0^- = d_0^+ + d^- = d^+ + d^- + \dim\mathrm{Null}_V(B)}$

最大次元の正（負）定値部分ベクトル空間 ${W^+}$ （ ${W^-}$ ）が存在して ${V = W^+ \oplus W^- \oplus \mathrm{Null}_V(B)}$ と直交分解する。

表現行列 ${I_{k,l}^n}$

\begin{equation} I_{k,l}^n = \begin{pmatrix} E_k & & \\ & -E_l & \\ & & O_{n-k-l} \end{pmatrix} \end{equation}

${m}$ 次の単位行列 ${E_m}$
零行列 ${O_m}$

基底のとり方によらず ${k = d^+, l = d^-}$ となる。

${B}$ や ${Q}$ を ${(d^+,d^-)}$ -型の 2 次（対称）形式と呼ぶ。

ローレンツ変換

ローレンツ内積：-型の非退化 2 次形式
- ${\mathbb{R}^{n+1}}$ 上の 2 次形式 ${Q(x_1,\dots,x_{n+1}) = x_1^2 + \cdots + x_n^2 - x_{n+1}^2}$ と等価。

ローレンツ内積 ${B}$ に関する直交変換をローレンツ変換と呼ぶ。

ローレンツ変換 ${f \in O(V,B)}$ の正規直交基底に関する表現行列 ${A}$ は以下を満たす。

\begin{equation} {}^tALA = L,\quad L := \begin{pmatrix} E_{n-1} & \mathbf{o} \\ {}^t\mathbf{o} & -1 \end{pmatrix} \end{equation}

対称変換

${n}$ 次元実ベクトル空間 ${V}$
上の非退化 2 次対称形式（計量）
- ${B(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2)}$ を ${(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2)}$ と略記する。
- ${B(\mathbf{v},\mathbf{v})}$ を ${|\mathbf{v}|^2}$ と略記する。
${V}$ 上の 2 次対称形式 ${S}$