物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

現代幾何学への招待

数学

SGCライブラリ - 124

現代幾何学への招待

曲面の幾何からシンプレクティック幾何、フレアホモロジーまで

宮岡礼子　著

2016年4月25日　初版発行

近道の数学

変分法

${c}$ を多様体 ${M}$ 上の点 ${p}$ と ${q}$ を結ぶ曲線 ${\mathcal{C}_{p,q}}$ の元とする。

曲線のパラメータ： ${t \in [a,b]}$
出発点： ${c(a) = p}$
終点： ${c(b) = q}$

${p}$ と ${q}$ を結ぶ曲線の族 ${\{c^{\sigma}(t)\}}$ で ${c^0 = c}$ となるものを ${c}$ の変分という。

${c}$ の変分ベクトル場：

$V(t) = \left.\frac{\partial c^{\sigma}(t)}{\partial\sigma}\right|_{\sigma = 0}$

曲線 ${c^{\sigma}}$ の長さ： ${L(\sigma) = L(c^{\sigma})}$

${c = c^0}$ が長さの極値を与えるならば

$\left.\frac{dL(\sigma)}{d\sigma}\right|_{\sigma = 0} = 0$

測地線

曲線 ${c}$ のエネルギー（作用積分）：

$\mathcal{E}( c ) = \frac{1}{2}\int_a^b\left|\frac{dc}{dt}\right|^2dt$

シュワルツの不等式より

${\displaystyle L( c )^2 = \left(\int_a^b\left|\frac{dc}{dt}\right|dt\right)^2 \le \int_a^b\left|\frac{dc}{dt}\right|^2dt\int_a^bdt = 2(b - a)\mathcal{E}( c ) }$

エネルギー（および長さ）の極値を取る曲線を測地線という。

測地線は「十分近い」２点を結ぶ最短線になる。

曲面の幾何 I

${\mathbb{R}^3}$ の中の曲面を考える。

${D}$ を ${\mathbb{R}^2}$ の領域として、 ${F: D \in (u,v) \mapsto F(u,v) \in \mathbb{R}^3}$ と表す。

曲面の面積：

${\displaystyle A(F) = \int_D\sqrt{|F_u|^2|F_v|^2 - \langle F_u,F_v\rangle^2}dudv }$

${\displaystyle F_u = \frac{\partial F}{\partial u},\quad F_v = \frac{\partial F}{\partial v} }$

曲面の面積要素：

${dA = \sqrt{\det G(u,v)}dudv}$

曲面の位相的分類

基本群と被覆空間

ポアンカレ予想と幾何化予想

リッチ流

平均曲率流

曲面の幾何 II

ビギナーの物理

高次元の話

多様体とモース理論

調和写像論

シンプレクティック幾何と古典力学

ラグランジュ部分多様体

フレアホモロジーと交叉理論

新しい幾何学の潮流