SGCライブラリ - 111

作用素環と無限量子系

よりよい理解のために

松井卓　著

2014年9月25日　初版発行

無限自由度の量子系での表現の同値性

ヒルベルト空間 ${\mathcal{H}}$
${\mathcal{H}}$ のベクトル ${\xi}$ と ${\eta}$ の内積 ${(\xi,\eta)}$
${\mathcal{H}}$ のベクトル ${\eta}$ のノルム ${||\eta||_{\mathcal{H}} = \sqrt{(\eta,\eta)}}$
${\mathcal{H}_1}$ から ${\mathcal{H}_2}$ への有界線形作用素 ${Q}$
作用素ノルム ${||Q|| = \sup\{||Q\eta||\,|\, \eta \in \mathcal{H}_1,\,||\eta||_{\mathcal{H}_1} \le 1\}}$
${\mathcal{H}}$ から ${\mathcal{H}}$ への有界線形作用素全体 ${\mathcal{B}(\mathcal{H})}$
有界作用素 ${Q}$ の共役作用素 ${Q^{\ast}}$

${\mathcal{B}(\mathcal{H})}$ の部分代数 ${\mathcal{A}}$ が ${\ast}$ 代数であるとは、任意の ${Q \in \mathcal{A}}$ に対して ${Q}$ の共役作用素 ${Q}^{\ast}$ も ${\mathcal{A}}$ の元であることとする。

${\mathcal{B}(\mathcal{H})}$ の部分代数 ${\mathcal{A}}$ が ${C^{\ast}}$ 代数であるとは、 ${\mathcal{A}}$ が ${\ast}$ 代数であり、作用素ノルムで定まる位相で完備であることとする。

${\{\pi(\cdot),\mathcal{H}\}}$ が ${\ast}$ 代数 ${\mathcal{A}}$ の表現であるとは、 ${\mathcal{H}}$ はヒルベルト空間であり、 ${\pi(\cdot)}$ は ${\mathcal{A}}$ から ${\mathcal{B}(\mathcal{H})}$ への準同型で、 ${Q^{\ast}}$ は共役作用素 ${\pi(Q)^{\ast}}$ に対応することと定める：

${\pi(Q_1Q_2) = \pi(Q_1)\pi(Q_2)}$
${\pi(c_1Q_1 + c_2Q_2) = c_1\pi(Q_1) + c_2\pi(Q_2)}$
${\pi(Q^{\ast}) = \pi(Q)^{\ast}}$

${\mathcal{A}}$ の二つの表現 ${\{\pi_1(\cdot),\mathcal{H}_1\}}$ と ${\{\pi_2(\cdot),\mathcal{H}_2\}}$ がユニタリー同値であるとは、 ${\mathcal{H}_1}$ から ${\mathcal{H}_2}$ へのユニタリー作用素 ${W}$ で ${W\pi_1(Q)W^{\ast} = \pi_2(Q)}$ をみたすものが存在することとする。

CAR 代数

フェルミ粒子の生成消滅作用素がフォック空間 ${\mathcal{F}}$ 上に作用するとする。

正準反交換関係（Canonical Anti-Commutation Relations）：

生成作用素 ${a_j^{\ast}}$
消滅作用素 ${a_j}$
${\{a_i,a_j\} = 0}$
${\{a_i^{\ast},a_j^{\ast}\} = 0}$
${\{a_i,a_j^{\ast}\} = \delta_{ij}1}$

全ての整数 ${i}$ と ${j}$ を考え、 ${a_i}$ と ${a_j^{\ast}}$ が生成するヒルベルト空間 ${\mathcal{F}}$ 上の作用素の代数を CAR 代数と呼び ${\mathcal{A}_{\mathrm{CAR}}}$ で表す。

フォック空間 ${\mathcal{F}}$ の真空ベクトル ${\Omega}$ ：

全ての整数 ${i}$ について ${a_i\Omega = 0}$ が成り立つ。
${\mathcal{F}}$ は ${Q\Omega}$ （ ${Q \in \mathcal{A}_{\mathrm{CAR}}}$ ）で生成される。

${h}$ を複素ヒルベルト空間とする。

${J}$ が ${h}$ の複素構造であるとは、次の条件をみたす反線形写像であることとする：

${J^2 = 1}$
${(Jh_1,Jh_2)_h = (h_2,h_1)_h\quad (h_1,h_2 \in h)}$

${\mathcal{A}_{\mathrm{CAR}}(h,J)}$ を次の条件をみたす元 ${B(h)}$ で生成される単位元を持つ ${C^{\ast}}$ -代数とする：

${B(c_1h_1 + c_2h_2) = c_1B(h_1) + c_2B(h_2)}$
${B(h)^{\ast} = B(Jh)}$
${\{B(h_1),B(h_2)^{\ast}\} = (h_2,h_1)_h1}$

${h}$ の射影作用素 ${E}$ が基本射影であるとは、 ${JEJ = 1 - E}$ をみたすこととする。

${h}$ のユニタリー作用素 ${u}$ が ${JuJ = u}$ をみたすとき、 ${\beta_u(B(h)) = B(uh)}$ により CAR 代数 ${\mathcal{A}_{\mathrm{CAR}}(h,J)}$ の自己同型が定まる。（ボゴリューボフ変換）

基本射影 ${E}$ で定まるフォック表現 ${\{\pi_E(\cdot),\Omega_E,\mathcal{F}_E\}}$ ：

全ての ${f \in h}$ について ${\pi_E(B(1 - E)f)\Omega_E = 0}$ が成立する。
${\pi_E(\mathcal{A}_{\mathrm{CAR}}(h,J))\Omega_E}$ は ${\mathcal{F}_E}$ で稠密である。

Shale の定理

${h}$ 上の基本射影 ${E_1}$ と ${E_2}$ から定まるフォック表現 ${\{\pi_{E_1}(\cdot),\Omega_{E_1},\mathcal{F}_{E_1}\}}$ と ${\{\pi_{E_2}(\cdot),\Omega_{E_2},\mathcal{F}_{E_2}\}}$ はユニタリー同値である。

作用素環入門

${\mathcal{A}}$ を単位元を持つ ${C^{\ast}}$ 代数とする。

${\varphi}$ が ${\mathcal{A}}$ の正の線形汎関数であるとは、 ${\varphi}$ が ${\mathcal{A}}$ から複素数への線形汎関数であって、正値条件 ${\varphi(Q^{\ast}Q) \ge 0}$ をみたすこととする。
${\varphi}$ が ${\mathcal{A}}$ の状態であるとは、 ${\varphi}$ の正の線形汎関数であって、規格化条件 ${\varphi(1) = 1}$ をみたすこととする。
の状態が純粋状態であるとは、非自明な正の汎関数が以下の条件をみたすならば、となることとする：
- ${\psi(Q) \le \varphi(Q),\quad \forall Q \ge 0}$