超幾何関数入門
SGCライブラリ - 55
超幾何関数入門
特殊関数への統一的視点からのアプローチ
木村弘信 著
2007年5月25日 初版発行
初等関数
複素数 に対して
は、任意の複素数 に対して収束し、複素平面 における正則関数を表す。(指数関数)
関数 を
を満たすものとして定義する。
このとき、 は により一通りに定まる。(対数関数)
- :主値
- :偏角
対数関数 は
で与えられる。
ここで は を始点とし、 を終点とする 内の路で、積分値は の定める を に結ぶ路のホモトピー類にのみよる。
を指数とするベキ関数は以下で与えられる:
ベータ関数、ガンマ関数、ガウス積分
ベータ積分:
ベータ積分は領域 で広義一様に収束し、そこで についての正則関数を与える。
これをベータ関数という。
ガンマ積分:
ガンマ積分は で広義一様収束し、そこで正則関数を表す。
これをガンマ関数という。
ガンマ関数 は自然数 で定義された関数である階乗 を複素平面の という領域に正則関数として延長したものと思うことができる。
のとき、以下が成り立つ。
特に、自然数 に対して
である。
ベータ関数とガンマ関数の間には、次の関係が成り立つ。
両辺が共に正則な範囲で次が成り立つ:
次の公式は反転公式とも呼ばれる。
ガンマ関数について、次の2次関係式が成り立つ。
ガンマ関数についての2次関係式を用いると、ベータ関数についても同様な関係式を得ることができる。
ベータ関数について、次の2次関係式が成り立つ。
ガウスの超幾何関数とその一族
ガウスの超幾何関数とその合流型関数はすべて、複素数 を独立変数とし、 を未知関数とする2階線形微分方程式
の解として特徴づけられる。
方程式 \eqref{A} において、 は で正則とする。
このとき、任意に与えられた に対して、初期条件
を満たす正則解 が で唯一つ存在する。
\eqref{A} の解全体は 上の2次元ベクトル空間をなす。
方程式 \eqref{A} の解空間の基底 を成分とするベクトル を、方程式 \eqref{A} の基本解、あるいは解の基本系という。
方程式 \eqref{A} が に特異点を持つ場合を考える。
- と は で正則で、いずれかが に極を持つとする。
- をとり、 を始点として を正の向きに1回まわり再び に戻る路を とする。
- を における解の基本系とする。
- に沿って解析接続して得られる解を とする。
解空間の基底の変換として、
によって によらない定数行列 が定まる。
は の 内でのホモトピー類のみによって決まり、 に対する回路行列という。
任意の に対して、 となる が存在する。
解の基本系 に対する回路行列 に対して、 を満たす行列 を1つとっておく。
解の基本系 に対して、 において一価正則関数を成分とするベクトル が存在して
と表すことができる。
ここで、
である。
が を高々極に持つとき、 を方程式 \eqref{A} の確定特異点といい、そうでないとき不確定特異点と いう。
方程式 \eqref{A} が を確定特異点として持つとする。
このとき、次の形の基本解 がとれる:
- Case 1:
- は、 で正則で、 を満たす。
- Case 2:
- は、 で正則で、 を満たす。
- Case 2 は の場合にのみ起こる。
を方程式 \eqref{A} の における特性指数という。
方程式 \eqref{A} の特異点 が確定特異点ならば、 は で正則である。