物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

演習　くり込み群

場の量子論

SGCライブラリ - 61

演習　くり込み群

確かな理解と修得を目指して

柏太郎　著

2008年1月25日　初版発行

くり込みの基礎

質量 ${m = 1}$ の調和振動子に非調和項 ${\lambda q^4}$ を含めた Langrangian：

$L = \frac{1}{2}\dot{q}^2 - \frac{\omega^2}{2}q^2 - \frac{\lambda}{4!}q^4$

運動方程式の解：

$q(t) = q_0(t) + \frac{\lambda}{6}\int_0^{\infty}dt^{\prime}G_{\mathrm{R}}(t - t^{\prime})q^3(t^{\prime})$

${G_{\mathrm{R}}(t)}$ ：遅延グリーン関数
${q_0(t)}$ ：相互作用のない（ ${\lambda = 0}$ ）振動子

$\left(\frac{d^2}{dt^2} + \omega^2\right)G_{\mathrm{R}}(t) = -\delta(t),\quad \lim_{t \mapsto -\infty}G_{\mathrm{R}} = 0$

$\left(\frac{d^2}{dt^2} + \omega^2\right)q_0(t) = 0$

${q_0(t)}$ を初期条件 ${q_0(0) = a,\,\dot{q}_0(0) = 0}$ の下で解き、 ${\lambda}$ の２次までを考慮する。

$q(t) = a\sqrt{1 - \frac{\lambda a^2}{96\omega^2}}\cos\Omega t + \frac{\lambda a^3}{192\omega^2}\cos 3\Omega t$

$\Omega \equiv \omega + \frac{\lambda a^2}{16\omega}$

同じ問題を量子力学で考える。

$\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2} + \frac{\omega^2}{2}\hat{q}^2 + \frac{\lambda}{4!}\hat{q}^4$

${\hat{p}}$ ：運動量演算子
${\hat{q}}$ ：座標演算子
${[\hat{p},\hat{p}] = [\hat{q},\hat{q}] = 0}$
${[\hat{q},\hat{p}] = i}$

相互作用の効果を含めた運動方程式：

$\left(\frac{d^2}{dt^2} + \Omega^2\right)\hat{q} = -\frac{\lambda}{6}\hat{q}^3 + \delta\omega^2\hat{q} \equiv \hat{J}(q)$

${\Omega^2 \equiv \omega^2 + \delta\omega^2}$
${\delta\omega^2 = O(\lambda)}$

$\hat{q}(t) = \sqrt{Z}\hat{q}^{\mathrm{in}}(t) - \int_{-\infty}^{\infty}dt^{\prime}G_{\mathrm{R}}(t -t^{\prime})\hat{J}(q(t^{\prime}))$

${G_{\mathrm{R}}(t - t^{\prime})}$ ：遅延グリーン関数
$\left(\frac{d^2}{dt^2} + \Omega^2\right)G_{\mathrm{R}}(t - t^{\prime}) = -\delta(t - t^{\prime}),\quad \lim_{t \mapsto -\infty}G_{\mathrm{R}}(t - t^{\prime}) = 0$

$\hat{q}(t) = \sqrt{Z}\hat{q}^{\mathrm{out}}(t) - \int_{-\infty}^{\infty}dt^{\prime}G_{\mathrm{A}}(t -t^{\prime})\hat{J}(q(t^{\prime}))$

${G_{\mathrm{R}}(t - t^{\prime})}$ ：先進グリーン関数
$\left(\frac{d^2}{dt^2} + \Omega^2\right)G_{\mathrm{A}}(t - t^{\prime}) = -\delta(t - t^{\prime}),\quad \lim_{t \mapsto \infty}G_{\mathrm{A}}(t - t^{\prime}) = 0$

${\hat{q}^{\mathrm{in}}(t),\,\hat{q}^{\mathrm{out}}(t)}$ は漸近場（それぞれ、in-場、out-場、まとめて ${\hat{q}}^{\mathrm{as}}$ と書く）と呼ばれる。

$\left(\frac{d^2}{dt^2} + \Omega^2\right)\hat{q}^{\mathrm{as}}(t) = 0$

漸近場と座標・運動量はユニタリー変換 ${\hat{U}}$ で結ばれている：

${\hat{U}(t)\hat{q}(t)\hat{U}^{-1} = \hat{q}^{\mathrm{as}}(t)}$
${\hat{U}(t)\hat{p}(t)\hat{U}^{-1} = \hat{p}^{\mathrm{as}}(t)}$

${i\hat{\dot{U}}(t) = \hat{H}_{\mathrm{I}}(p^{\mathrm{as}},q^{\mathrm{as}})\hat{U}(t)}$

${\hat{H}_{\mathrm{I}}(p,q)}$ は相互作用 Hamiltonian を表す：

${\hat{H}_{\mathrm{I}}(p,q) \equiv \hat{H}(p,q) - \hat{H}_0(p,q)}$
$\hat{H}_0(p,q) \equiv \frac{1}{2}\hat{p}^2 + \frac{\Omega^2}{2}\hat{q}^2$

漸近場の生成・消滅演算子を以下のように書く。

$\hat{q}^{\mathrm{as}}(t) = \frac{1}{\sqrt{2\Omega}}(a^{\mathrm{as}}(t) + a^{\mathrm{as}\dagger}(t))$

${a^{\mathrm{as}}(t) = a^{\mathrm{as}}(0)e^{-i\Omega t}}$
${a^{\mathrm{as}\dagger}(t) = a^{\mathrm{as}\dagger}(0)e^{i\Omega t}}$

規格化された漸近場の ${n}$ 体状態を以下で定義する：

$|n:\mathrm{as}\rangle \equiv \frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{\mathrm{as}\dagger})^n|0\rangle,\quad a^{\mathrm{as}\dagger} \equiv a^{\mathrm{as}\dagger}(0)$

${a^{\mathrm{as}}|0\rangle = 0}$

この ${n}$ 体状態は Hamiltonian の固有状態になっている。

${\hat{H}(p,q)|n:\mathrm{as}\rangle = n\Omega|n:\mathrm{as}\rangle}$

Heisenberg 演算子 ${q(t)}$ を真空 ${\langle 0|}$ と１体状態 ${|1:\mathrm{as}\rangle}$ ではさんだとき

${\langle 0|\hat{q}(t)|1:\mathrm{as}\rangle = \sqrt{Z}f_{\Omega}(t) = \sqrt{Z}\langle 0|\hat{q}^{\mathrm{as}}|1:\mathrm{as}\rangle}$

漸近場は相互作用のない場であるから、１体状態の波動関数 ${f_{\Omega}(t)}$ を基準にすると、相互作用のために ${\langle 0|\hat{q}(t)|1:\mathrm{as}\rangle}$ の振幅は変化する。

${Z}$ を調節することで、こうした変化がなかったようにする（大きさを ${1}$ に戻す）操作をくり込みという。

${n\,(\ge 2)}$ 対の漸近状態間の遷移確率振幅を ${S}$ -行列と呼ぶ。

${S_{n,n} \equiv \langle n:\mathrm{out}|n:\mathrm{in}\rangle}$

グリーン関数の計算

くり込みとくり込み群