物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

４次元微分幾何学への招待

数学

SGCライブラリ - 113

４次元微分幾何学への招待

不定値計量の存在、ニュートラル計量、複素曲面、ツイスター

松下泰雄・鎌田博行・中田文憲　共著

2014年12月25日　初版発行

リーマン計量の存在

可微分多様体 ${M}$ のリーマン計量とは、 ${M}$ の点 ${p}$ の接空間 ${T_pM}$ 上での内積が、 ${M}$ のすべての点でなめらかに定義されたものである。

可微分多様体は、リーマン計量を許容する。

よって、つねにリーマン多様体とみなすことができる。

ホイットニーの埋め込み定理

次元 ${n}$ の可微分多様体 ${M}$
次元 ${m}$ の可微分多様体 ${N}$
${C^{\infty}}$ 写像 ${\psi: M \to N}$

写像 ${\psi}$ がはめこみとは、すべての点 ${p \in M}$ において、接空間の間の写像 ${(d\psi)_p:T_pM \to T_{\psi(p)}N}$ が ${1:1}$ の線形写像となることである。

写像 ${\psi}$ が埋め込みとは、 ${\psi}$ がはめこみであり、かつ ${\psi: M \to \psi(M) \subset N}$ が同相写像となることである。

${n}$ 次元可微分多様体 ${M}$ は、次元が ${2n + 1}$ の ${\mathbb{R}^{2n + 1}}$ に埋め込むことができる。

ファイバーバンドル

バンドル空間 ${B}$
底空間 ${M}$
写像 ${\pi: B \to M}$
ファイバー ${F}$

これらが満たす条件として、次の２つがある：

各点 ${p \in M}$ のファイバー ${F_p = \pi^{-1}(p)}$ は ${F}$ と同相である。
各点 ${p \in M}$ における近傍 ${U_p}$ で、 ${U_p \times F \to \pi^{-1}(U_p)}$ が同相となる。

ローレンツ計量の由来　光

${n}$ 次元リーマン多様体 ${(M^n,g_R)}$ を考える。

計量テンソル（ローレンツ計量）：

$g_L(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = g_R(\mathbf{X},\mathbf{Y}) - 2\frac{g_R(\mathbf{X},\xi)g_R(\mathbf{Y},\xi)}{g_R(\xi,\xi)}$

向き付け可能な可微分多様体 ${M}$ がローレンツ計量を許容するのは、 ${M}$ が特異点のないベクトル場を許容することである。

スティーンロッドの存在定理

ヒルツェブルフ・ホッフの存在定理

ドナルドソンの定値交点形式

${4}$ 次元ニュートラル多様体の例

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コンパクト複素曲面上の自己双対ニュートラル計量

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