物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

偏微分方程式の解の幾何学

物理数学

SGCライブラリ - 132

偏微分方程式の解の幾何学

坂口茂　著

2017年3月25日　初版発行

反応拡散方程式

${N \ge 2}$ に対して、 ${N}$ 次元ユークリッド空間を考える。

${\mathbb{R}^N = \{x = (x_1,\dots,x_N)\,|\,x_j \in \mathbb{R}\,(j = 1,\dots,N)\}}$

${x,y \in \mathbb{R}^N}$ について、その標準内積 ${\langle x,y\rangle}$ を以下で定める：

$\langle x,y\rangle = \sum_{j=1}^Nx_jy_j$

${x \in \mathbb{R}^N}$ について、その長さ ${|x|}$ は ${|x| = \sqrt{\langle x,x\rangle}}$ で与えられる。

点 ${x \in \mathbb{R}^N}$ と ${r \gt 0}$ に対して、 ${x}$ を中心とした半径 ${r}$ の開球 ${B_r(x)}$ を以下で定める：

${B_r(x) = \{y \in \mathbb{R}^N\,|\,|y - x| \lt r\}}$

集合 ${\Omega \subset \mathbb{R}^N}$ が領域であるとは、 ${\Omega}$ が開集合で連結であることをいう。

${\Omega}$ が開集合であるとは、任意の ${x \in \Omega}$ に対して、ある ${r \gt 0}$ が存在して ${B_r(x) \subset \Omega}$ が成り立つことをいう。
開集合 ${\Omega}$ が連結であるとは、 ${\Omega}$ の任意の２点を結ぶ ${\Omega}$ 内の曲線が存在することをいう。

${\Omega}$ の境界を ${\partial\Omega}$ と書き、 ${\Omega}$ の閉包を ${\Omega \cup \partial\Omega}$ とする。

発散定理

${W \subset \mathbb{R}^N}$ をその境界 ${\partial W}$ が滑らかな有界領域とする。

${\overline{W}}$ 上の ${C^1}$ 級ベクトル場 ${\vec{F} = (F_1(x),\dots,F_N(x))}$ とその発散 $\mathrm{div}\,\vec{F} = \sum_{j=1}^N\frac{\partial F_j}{\partial x_j}$ に対して以下が成り立つ：

$\int_{\partial W}\langle\vec{F},\nu\rangle dS_x = \int_W\mathrm{div}\,\vec{F}\,dx$

${\nu = \nu(x)}$ ：点 ${x \in \partial W}$ での閉曲面 ${\partial W}$ の単位外向き法線ベクトル

${dS_x}$ ：閉曲面 ${\partial W}$ の面積要素

${dx = dx_1 \cdots dx_N}$ ： ${\mathbb{R}^N}$ の体積要素

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