共振器量子電磁力学
SGCライブラリ - 162
共振器量子電磁力学
量子コンピュータのハードウェア理論
越野和樹 著
2020年9月25日 初版発行
量子光学の基礎
量子化された調和振動子のハミルトニアン：
\begin{equation} \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{m\omega^2\hat{q}^2}{2} \end{equation}
消滅演算子 、生成演算子
を定義する。
\begin{equation} \binom{\hat{a}}{\hat{a}^{\dagger}} = \frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}} \begin{pmatrix} m\omega & i \\ m\omega & -i \end{pmatrix} \binom{\hat{q}}{\hat{p}} \end{equation}
コヒーレント状態
調和振動子のハミルトニアンに 、
に比例する項を加える。
\begin{equation} \hat{H}_c = \hbar\omega\hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \hbar(E^{\ast}\hat{a} + E\hat{a}^{\dagger}) \end{equation}
演算子 および
を定義する。
\begin{equation} \hat{H}_c = \hbar\omega\hat{b}^{\dagger}\hat{b} - \hbar|E|^2/\omega \end{equation}
変位演算子を導入する。
変位演算子は、消滅（生成）演算子を （
）だけ平行移動する効果がある。
演算子 を演算子
のユニタリ変換として表現することができる。
\begin{equation} \hat{b} = \hat{D}(\alpha)\hat{a}\hat{D}^{\dagger}(\alpha) \end{equation}
ハミルトニアン の固有状態は変位を受けた数状態
であり、その固有値は
である。
\begin{equation} \hat{H}_c\hat{D}(\alpha)\vert n\rangle = \hbar(n\omega - \vert E\vert^2/\omega)\hat{D}(\alpha)\vert n\rangle \end{equation}
一般に、変位を受けた真空状態のことをコヒーレント状態と呼ぶ。
スクイーズド状態
調和振動子のハミルトニアンに 、
に比例する項を加える。
\begin{equation} \hat{H}_s = \hbar\omega\hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \hbar\left(\frac{E^{\ast}}{2}\hat{a}^2 + \frac{E}{2}\hat{a}^{\dagger 2}\right) \end{equation}
演算子 および
を定義する。
\begin{equation} \binom{\hat{b}}{\hat{b}^{\dagger}} = \begin{pmatrix} \cosh r & e^{2i\phi}\sinh r \\ e^{-2i\phi}\sinh r & \cosh r \end{pmatrix} \binom{\hat{a}}{\hat{a}^{\dagger}} \end{equation}
\begin{equation} \hat{H}_s = \hbar\lambda\hat{b}^{\dagger}\hat{b} + \frac{\lambda - \omega}{2} \end{equation}
スクイーズ演算子を導入する。
\begin{equation} \hat{S}(z) = \exp\left(\frac{z^{\ast}}{2}\hat{a}^2 - \frac{z}{2}\hat{a}^{\dagger 2}\right) \end{equation}
\begin{equation} \binom{\hat{S}^{\dagger}(z)\hat{a}\hat{S}(z)}{\hat{S}^{\dagger}(z)\hat{a}^{\dagger}\hat{S}(z)} = \begin{pmatrix} \cosh(\vert z\vert) & - \frac{z}{\vert z\vert}\sinh (\vert z\vert) \\ -\frac{z^{\ast}}{\vert z\vert}\sinh(\vert z\vert) & \cosh(\vert z\vert) \end{pmatrix} \binom{\hat{a}}{\hat{a}^{\dagger}} \end{equation}
と選ぶことにより、演算子
を演算子
のユニタリ変換として表現することができる。
ハミルトニアン の固有状態はスクイーズされた数状態
であり、その固有値は
である。
\begin{equation} \hat{H}_s\hat{S}(z)\vert n\rangle = \hbar\left(n\lambda + \frac{\lambda - \omega}{2}\right)\hat{S}(z)\vert n\rangle \end{equation}
真空状態にスクイーズ演算子を作用させた状態をスクイーズド真空状態と呼ぶ。
一般のスクイーズド状態は、スクイーズド真空状態を変位させて定義される。
2 準位原子
2 準位原子では、原子の量子状態は二つの基底ベクトル 、
で張られる空間に限定される。
この原子に励起を作る演算子 は上昇演算子、励起を消す演算子
は下降演算子と呼ばれる。
2 準位原子と自由空間中の光子場との相互作用を表すハミルトニアンは次式のように書ける。
\begin{equation} \hat{H} = \hbar\omega_a\hat{\sigma}^{\dagger}\hat{\sigma} + \sum_j\hbar\omega_j\hat{a}_j^{\dagger}\hat{a}_j + \sum_j\hbar(\xi_j\hat{\sigma}^{\dagger}\hat{a}_j + \xi_j^{\ast}\hat{a}_j^{\dagger}\hat{\sigma}) \end{equation}
QED から共振器 QED へ
共振器とは、鏡や誘電体など損失の少ない光学媒質を用いて、電磁場を狭い空間に閉じ込める装置である。
共振器中では、空間サイズ が小さいため固有エネルギーの離散化幅が大きく、原子は少数のモードと強く結合する。
共振器 QED の魅力：
- クリーンな量子系
- デザイン可能性
- 原子発光の制御：導波路 QED 系の構築
- 量子情報デバイスへの応用
共振器 QED 系：孤立形としての性質
Jaynes-Cummings 模型：
\begin{equation} \hat{H}_{\mathrm{JC}} = \omega_a\hat{\sigma}^{\dagger}\hat{\sigma} + \omega_c\hat{a}^{\dagger}\hat{a} + g(\hat{\sigma}^{\dagger}a + \hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}) \end{equation}
Jaynes-Cummings モデルでは総励起数が保存量である。
ハミルトニアン の固有状態は総励起数の等しい状態のみから構成されることが知られており、解析的に固有状態を求めることができる。
