物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

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弦理論と可積分性

弦理論

SGCライブラリ - 165

弦理論と可積分性

ゲージ-重力対応のより深い理解に向けて

佐藤勇二　著

2021年2月25日　初版発行

ゲージ-重力対応

ゲージ-重力 ( {\mathrm{AdS}/\mathrm{CFT}}) 対応

{AdS_5 \times S^5} 中のタイプ IIB 超弦理論は 4 次元 {\mathcal{N} = 4} {U(N)} 超対称 Yang-Mills (SYM) 理論と等価であり、次の関係が成り立つ。

{\displaystyle \frac{r_{\mathrm{AdS}}^4}{\alpha^{\prime 2}} = 4\pi g_sN = g_{\mathrm{YM}}^2N = \lambda}

  • 超弦理論側
    • {r_{\mathrm{AdS} (= r_+)}}： {AdS_5} と {S^5} の半径
    • {g_s}：閉弦の結合定数
    • {1/(2\pi\alpha^{\prime})}：弦の張力
  • SYM 理論側
    • {N}：ゲージ群の階数（ブレインの枚数）
    • {g_{\mathrm{YM}}}：SYM 理論の結合定数
    • {\lambda}：t'Hooft 結合

古典可積分系

Liouville 可積分性

自由度 {n}（ {2n} 次元の位相空間）を持つ古典力学系が {n} 個の独立な保存量 {F_i} ( {i = 1,\dots,n}) を持ち、包含的である、すなわち {\{F_i,F_j\} = 0} が成り立つ時、その系は Liouville 可積分であるという。

Liouville 可積分な系の正準方程式の解は求積法により求めることができる。（Liouville の定理）

Lax 対

運動方程式が、適当な行列 {L, M} の交換子を用いて表されたとする。

  • Lax 方程式： {\displaystyle \frac{dL}{dt} = [M,L]}
  • {M = \dot{g}g^{-1}}
  • {L(t) = g(t)L(0)g(t)^{-1}}

{L} の固有値、 {\mathrm{tr}\,L^n}、 {\det L} など相似変換 {L \to gLg^{-1}} の下で不変な量は保存量となる。 このような行列 {L, M} の組を Lax 対という。

{r} 行列

{(E_{jk})_{mn} = \delta_{jm}\delta_{km}} を成分とする正方行列の基底を用いる。

  • {L = \sum_{i,j}L_{ij}E_{ij}}
    • {L_1 = L \otimes \mathbb{1}}
    • {L_2 = \mathbb{1} \otimes L}
  • {r = \sum_{ijkl}r_{ij;kl}E_{ij} \otimes E_{kl}}
    • {r_{12} = r}
    • {r_{21} = \sum_{ijkl}r_{ij;kl}E_{kl} \otimes E_{ij}}

Poisson 括弧

{\displaystyle \{L_1,L_2\} = \sum_{i,j,k,l}\{L_{ij},L_{kl}\}E_{ij} \otimes E_{kl}}

{\{L_1,L_2\} = [r_{12},L_1] - [r_{21},L_2]} となる行列 {r_{12}, r_{21}} が存在すれば、 {\{\mathrm{tr}\,L^n,\mathrm{tr}\,L^m\} = 0}、即ち、保存量 {\mathrm{tr}\,L^n} が互いに包含的であることがわかる。

古典 Yang-Baxter 方程式

  • {[r_{12},r_{13}] + [r_{12},r_{23}] + [r_{32},r_{13}] = 0}
  • {r_{ij} = - r_{ji}}

{r} 行列は、可積分な系の分類に用いることができる。

反 de Sitter 時空中の弦の古典解

{\mathrm{AdS}_5 \times S^5} 中の古典弦の系は古典可積分な系となっており、可積分性に基づいた解析が可能となる。

量子スピン系

量子論における可積分性を考える。

スピン {1/2} 等方的 Heisenberg 模型：

  • {\displaystyle H = J\sum_{n=1}^NH_{n,n+1}}
  • {\displaystyle H_{n,n+1} = \vec{S}_n\cdot\vec{S}_{n+1} - \frac{1}{4}}

{N = 2} の時、ハミルトニアンは {4 \times 4} 行列となり、この行列を対角化することで模型を解くことができる。

{\displaystyle \mathcal{P} = \frac{1}{2}\left(\mathbf{1} \otimes \mathbf{1} + \sum_{\alpha}\sigma^{\alpha} \otimes \sigma^{\alpha}\right)}

  • {\vec{\sigma}_n = (\sigma_n^{\alpha})}
  • {\mathcal{P}^2 = \mathbb{1}}
  • {\mathcal{P}(x \otimes y) = y \otimes x\quad (x,y \in \mathbb{C}^2)}
  • {\mathcal{P}\vec{\sigma}_1\mathcal{P} = \vec{\sigma}_2}

{H = 2H_{12} = J(\mathcal{P} - \mathbb{1} \otimes \mathbb{1})}

{R} 行列 {R(\lambda) := \lambda\mathbb{1} \otimes \mathbb{1} + i\mathcal{P}} を導入する。

  • {R_{12}(\lambda) := R(\lambda) \otimes \mathbb{1}}
  • {R_{23}(\lambda) := \mathbb{1} \otimes R(\lambda)}
  • {R_{13}(\lambda) := \mathcal{P}_{23}R_{12}(\lambda)\mathcal{P}_{23}}
    • {\mathcal{P}_{23} = \mathbb{1} \otimes \mathcal{P}}

Yang-Baxter 方程式

{R_{12}(\lambda - \mu)R_{13}(\lambda)R_{23}(\mu) = R_{23}(\mu)R_{13}(\lambda)R_{12}(\lambda - \mu)}

Yang-Baxter 方程式から、十分な数の量子的な保存量が得られ、スピン {1/2} 等方的 Heisenberg 模型は“可積分”といえる。

S 行列理論

熱力学的 Bethe 仮説

極大超対称ゲージ理論 / {\mathrm{AdS}_5 \times S^5} 中の超弦理論のスペクトル

極大超対称ゲージ理論の強結合散乱振幅