幾何学の量子化
SGCライブラリ - 95
幾何学の量子化
変形量子化からのアプローチ
前田吉昭・佐古彰史 共著
2012年11月25日 初版発行
準備:古典的空間を記述するために
級多様体 が概複素多様体であるとは、 上に次の性質をもつ滑らかなテンソル場 が存在するときをいう:
- の各点 において、 は 型テンソルである。
- の各点 において、 は線形写像であり、 となる。
級多様体 がケーラー多様体であるとは、 上に次の性質をもつ滑らかなテンソル場 と が存在するときをいう:
- は の概複素構造である。
- は のリーマン計量である。
- を のリーマン接続とすると、 を満たす。
がケーラー多様体のときに、 と置くと はシンプレクティック -形式を決める。
ケーラー多様体はシンプレクティック多様体の例になっている。
一般のケーラー空間の複素座標系 によるケーラー計量:
- :ケーラーポテンシャル
変形量子化
ハミルトン系
を 次元実ユークリッド空間とし、その座標系を とする。
上の(標準的な)シンプレクティック形式:
ハミルトンベクトル場:
- :ハミルトン関数
- という 形式を表す。
- が非退化であることから、この式は を定義している。
ハミルトンベクトル場 の積分曲線が古典的な質点の軌跡を与える:
ポアソン代数
シンプレクティック多様体 の上の 級関数全体 を考える。
ポアソン括弧:
- : のハミルトンベクトル場
一般に代数 に括弧 が定義され、以下の性質をもっているときポアソン代数という:
- は双線形写像である。
- 反対称性:
- ヤコビ恒等式:
- 鎖則:
古典力学はポアソン代数 によって表されていると考える。
これを一般化して、抽象的なポアソン代数 を古典的な世界と考えたい。
変形量子化
を形式変数としたポアソン代数 の形式的冪級数の集合を で表す:
の変形量子化とは、 と、次の条件をみたす 上の積 の組 のことである:
- 積 は双線形、-双線形であり、結合律をみたす:
- に対し、 と表すと、以下が成立する: