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統計力学から理解する超伝導理論［第2版］

北孝文　著

2021年4月25日　初版発行

熱・統計力学のまとめ

熱力学第一法則
- ${dU = d^{\prime}Q + d^{\prime}W}$
- ${U}$ ：内部エネルギー
- ${d^{\prime}Q}$ ：外部から加えられる微小熱量
- ${d^{\prime}W}$ ：外部から加えられる微小仕事
熱力学第二法則
- ${d^{\prime}Q \le TdS}$
- ${S}$ ：エントロピー
- ${T}$ ：絶対温度
熱力学第三法則
- ${\lim_{T \to 0}S = 0}$

量子力学に従う多粒子・多自由度系の取り得る状態は離散的な量子数 ${\nu}$ で指定され、各状態が確率 ${w_{\nu}}$ で出現する。

エントロピーの統計力学的表式：

エントロピー ${S}$ は確率 ${w_{\nu}}$ のみの関数： ${S = \sum_{\nu}f(w_{\nu})}$
エントロピーは示量変数： ${S^{(1 + 2)} = S^{(1)} + S^{(2)}}$
部分系 ${j = 1,2}$ の確率論的独立性： ${w_{(\nu_1,\nu_2)}^{(1 + 2)} = w_{\nu_1}^{(1)}w_{\nu_2}^{(2)}}$

$S = -k_B\sum_{\nu}w_{\nu}\ln w_{\nu}$

ミクロカノニカル分布

一定の体積 ${V}$ を持ち、外界と熱的・力学的相互作用のない「孤立系」を考える。

系のエネルギー ${U}$ と粒子数 ${N}$ は一定。
状態数 ${W = W(U,V,N)}$
平衡確率分布 $w_{\nu} = \frac{1}{W}$
エントロピー ${S = k_B\ln W}$

カノニカル分布

一定の体積 ${V}$ を持ち、外界との間に熱のやりとりがある「閉じた系」を考える。

系のエネルギー期待値 ${U = \sum_{\nu}w_{\nu}\mathcal{E}_{\nu}}$ は一定。
分配関数 ${Z(T,V,N) = \sum_{\nu}e^{-\beta\mathcal{E}_{\nu}}}$
平衡確率分布 $w_{\nu} = \frac{e^{-\beta\mathcal{E}_{\nu}}}{Z}$
自由エネルギー $F = -\frac{1}{\beta}\ln Z$

グランドカノニカル分布

外界との間に、熱に加えて粒子のやりとりがある「開いた系」を考える。

系のエネルギー期待値 ${U = \sum_{\nu}w_{\nu}\mathcal{E}_{\nu}}$ は一定。
系の粒子数期待値 ${N = \sum_{\nu}w_{\nu}\mathcal{N}_{\nu}}$ は一定。
大分配関数 ${Z_G(T,V,\mu) = \sum_{\nu}e^{-\beta(\mathcal{E}_{\nu} - \mu\mathcal{N}_{\nu})}}$
平衡確率分布 $w_{\nu} = \frac{e^{-\beta(\mathcal{E}_{\nu} - \mu\mathcal{N}_{\nu})}}{Z_G}$
熱力学ポテンシャル $\Omega = -\frac{1}{\beta}\ln Z_G$

同種多粒子系の量子力学

${N}$ 粒子系の波動関数 ${\Phi_{\nu}(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_N)}$

${\hat{P}\Phi_{\nu}(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_N) = \sigma^P\Phi_{\nu}(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_N)}$

置換 ${\hat{P}}$
偶置換 ${\sigma^P \equiv 1}$
奇置換 ${\sigma^P \equiv \sigma}$
ボーズ粒子 ${\sigma = + 1}$
フェルミ粒子 ${\sigma = -1}$

第二量子化法

場の演算子 ${\hat{\psi},\,\hat{\psi}^{\dagger}}$ を定義する。

${[\hat{\psi}(\xi),\hat{\psi}^{\dagger}(\xi^{\prime})]_{\sigma} \equiv \hat{\psi}(\xi)\hat{\psi}^{\dagger}(\xi^{\prime}) - \sigma\hat{\psi}^{\dagger}(\xi^{\prime})\hat{\psi}(\xi) = \delta(\xi,\xi^{\prime})}$
${[\hat{\psi}(\xi),\hat{\psi}(\xi^{\prime})]_{\sigma} = [\hat{\psi}^{\dagger}(\xi),\hat{\psi}^{\dagger}(\xi^{\prime})]_{\sigma} = 0}$

状態ベクトル：

${\hat{\psi}(\xi)|0\rangle = 0}$
${\langle 0|\hat{\psi}^{\dagger}(\xi) = 0}$
$|\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_N\rangle \equiv \frac{1}{\sqrt{N!}}\hat{\psi}^{\dagger}(\xi_1)\hat{\psi}^{\dagger}(\xi_2)\cdots\hat{\psi}^{\dagger}(\xi_N)|0\rangle$
$\langle \xi_1\xi_2\cdots\xi_N| \equiv \frac{1}{\sqrt{N!}}\langle 0|\hat{\psi}(\xi_N)\cdots\hat{\psi}(\xi_2)\hat{\psi}(\xi_1)$

ハミルトニアン：

$\hat{H} = \int d\xi_1\hat{\psi}^{\dagger}(\xi_1)\frac{\hat{\mathbf{p}}_1^2}{2m}\hat{\psi}(\xi_1) + \frac{1}{2}\int d\xi_1\int d\xi_2\,\mathcal{V}(|\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|)\hat{\psi}^{\dagger}(\xi_1)\hat{\psi}^{\dagger}(\xi_2)\hat{\psi}(\xi_2)\hat{\psi}(\xi_1)$

シュレーディンガー方程式：

${\hat{H}|\Phi_{\nu}\rangle = \mathcal{E}_{\nu}|\Phi_{\nu}\rangle}$

$|\Phi_{\nu}\rangle = \int d\xi_1\cdots\int d\xi_N\,|\xi_1\cdots\xi_N\rangle\Phi_{\nu}(\xi_1,\dots,\xi_N)$

相互作用のない同種多粒子系を考える。

$\hat{H}_0 \equiv \int d\xi\,\hat{\psi}^{\dagger}(\xi)\left[\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} + \mathcal{U}(\mathbf{r})\right]\hat{\psi}(\xi)$

外部ポテンシャル ${\mathcal{U}(\mathbf{r})}$

対応する一粒子ハミルトニアンの固有値問題：

$\left[\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} + \mathcal{U}(\mathbf{r})\right]\varphi_q(\xi) = \varepsilon_q(\xi)$

$\hat{\psi}(\xi) = \sum_q\hat{c}_q\varphi_q(\xi)$
$\hat{\psi}^{\dagger}(\xi) = \sum_q\hat{c}_q^{\dagger}\varphi_q^{\ast}(\xi)$
${[\hat{c}_q,\hat{c}_{q^{\prime}}^{\dagger}]_{\sigma} = \delta_{qq^{\prime}}}$
${[\hat{c}_q,\hat{c}_{q^{\prime}}]_{\sigma} = [\hat{c}_q^{\dagger},\hat{c}_{q^{\prime}}^{\dagger}]_{\sigma} = 0}$

$\hat{H}_0 = \sum_q\varepsilon_q\hat{c}_q^{\dagger}\hat{c}_q$

固有状態 ${|\Psi_{\nu}\rangle}$ は、各一粒子状態 ${q}$ を占める粒子数 ${n_q}$ により指定される。

$|\Psi_{\nu}\rangle \equiv |n_{q_1},n_{q_2},\dots\rangle \equiv \frac{(\hat{c}_{q_1}^{\dagger})^{n_{q_1}}}{\sqrt{n_{q_1}!}}\frac{(\hat{c}_{q_2}^{\dagger})^{n_{q_2}}}{\sqrt{n_{q_2}!}}\cdots|0\rangle$

ボーズ粒子： ${n_q = 0,1,2,\dots}$
フェルミ粒子： ${n_q = 0,1}$

量子理想気体の統計力学

一粒子状態 ${q}$ を占有する平均粒子数：

$\bar{n}_q \equiv \frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_q - \mu) - \sigma}}$

ボーズ分布： ${\sigma = 1}$
フェルミ分布： ${\sigma = -1}$

一粒子エネルギー状態密度：

$D(\epsilon) \equiv \sum_q\delta(\epsilon - \varepsilon_q)$

平均粒子数 $N = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{D(\epsilon)}{e^{\beta(\epsilon - \mu) - \sigma}}d\epsilon$
内部エネルギー $U = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{D(\epsilon)\epsilon}{e^{\beta(\epsilon - \mu) - \sigma}}d\epsilon$

ゾンマーフェルト展開：

$I \equiv \int_0^{\infty}\frac{g(\tilde{\epsilon})}{e^{(\tilde{\epsilon} - \tilde{\mu})/\tilde{T}} + 1}d\tilde{\epsilon} \approx \int_0^{\tilde{\mu}}g(\tilde{\epsilon})d\tilde{\epsilon} + \frac{\pi^2}{6}g^{\prime}(\tilde{\mu})\tilde{T}^2 + \frac{7\pi^4}{360}g^{(3)}\tilde{T}^4 + \cdots$

密度行列と二粒子相関

平衡状態の密度行列演算子：

$\hat{\rho} \equiv \sum_{\nu}|\Phi_{\nu}\rangle w_{\nu}\langle\Phi_{\nu}|$

任意の演算子 ${\hat{\mathcal{O}}}$ の期待値 ${\langle\hat{\mathcal{O}}\rangle}$ は以下により計算できる。

$\langle\hat{\mathcal{O}}\rangle \equiv \mathrm{Tr}\,\hat{\rho}\hat{\mathcal{O}} = \sum_{\nu}w_{\nu}\langle\Phi_{\nu}|\hat{\mathcal{O}}|\Phi_{\nu}\rangle$

物理ノート

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ハートリー-フォック近似とランダウのフェルミ液体論

引力ポテンシャルと束縛状態

超伝導平均場理論の基礎方程式

BCS 理論

超流動性・マイスナー効果・磁束量子化

時間変化する外場への応答

トンネル現象・状態密度・ジョセフソン効果

${p}$ 波超流動

準古典方程式とギンツブルグ-ランダウ方程式

アブリコソフの磁束格子

表面と量子渦芯の電子状態